Necessitando de capital de giro, um comerciante pode descontar comercialmente uma duplicata, com vencimento para daqui a 4 meses, a uma taxa de 34 \% ao ano, pagando uma taxa de serviços bancários de 0,5 \% e IOF anual de 1,8 \% aplicado sobre o valor nominal. Desse modo, receberá um valor descontado de \ 13.135,00 . Outra alternativa para levantar recursos é tomar um empréstimo neste valor, pelo mesmo prazo, a uma taxa de juro exponencial mensal deéé4 %$. Qual a melhor opção para o comerciante?
Resp.: descontar a duplicata.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • O comerciante pode descontar uma duplicata com vencimento daqui a 4 meses e, ao fazê-lo, receberá um valor descontado de \$\,13.135{,}00.
  • As taxas cobradas no desconto são: taxa comercial de \,34\% ao ano (aplicada proporcionalmente ao prazo), taxa de serviços bancários de \,0{,}5\% sobre o valor nominal e IOF de \,1{,}8\% ao ano (aplicado sobre o valor nominal, proporcional ao prazo).
  • Alternativa: tomar um empréstimo no valor de \$\,13.135{,}00, pelo mesmo prazo (4 meses), à taxa exponencial mensal de \,4\%.
O que o enunciado pede: determinar qual das duas alternativas é financeiramente melhor para o comerciante (descontar a duplicata ou tomar o empréstimo).

Passo 2

Vamos traduzir as taxas para o mesmo período (4 meses) e escrever a equação que relaciona o valor nominal da duplicata com o valor recebido no desconto.
Explicação das ideias: quando se desconta uma duplicata o banco subtrai do valor nominal todos os encargos aplicáveis (desconto comercial proporcional ao tempo, taxa de serviço sobre o nominal e IOF proporcional ao tempo). O valor líquido recebido é o nominal menos esses encargos. Portanto, se chamarmos o valor nominal de \,N, teremos:
\text{Provento} = N - (\text{desconto comercial}) - (\text{serviço}) - (\text{IOF}).ç
Cada parcela normalmente é calculada sobre N e proporcional ao tempo quando a taxa é anual. Vamos calcular cada termo para 4 meses.

Passo 3

Calcular as parcelas do desconto sobre o valor nominal N:
  • Desconto comercial (pro rata 4 meses): a taxa anual é \,34\%. Fração do ano em 4 meses é \tfrac{4}{12}=\tfrac{1}{3}. Logo
\text{desconto comercial} = N \times 0{,}34 \times \tfrac{1}{3} = N \times 0{,}113333\ldots
  • Taxa de serviços bancários (aplicada sobre o nominal): \text{serviço} = N \times 0{,}005ç.
  • IOF: taxa anual \,1{,}8\%, proporcional a 4 meses:
\text{IOF} = N \times 0{,}018 \times \tfrac{1}{3} = N \times 0{,}006.

Passo 4

Escrever a equação do valor recebido no desconto. Sabemos que o comerciante recebeu \$\,13.135{,}00. Substituindo os encargos:
13.135 = N - \bigl(N\cdot 0{,}113333\ldots + N\cdot 0{,}005 + N\cdot 0{,}006\bigr).
Fatorando N:
13.135 = N\bigl(1 - (0{,}113333\ldots + 0{,}005 + 0{,}006)\bigr).

Passo 5

Somar as parcelas das taxas e simplificar o fator multiplicador:
0{,}113333\ldots + 0{,}005 + 0{,}006 = 0{,}124333\ldots
Logo o fator é
1 - 0{,}124333\ldots = 0{,}875666\ldots
A equação fica:
13.135 = N \times 0{,}875666\ldots
Isolando N:
N = \dfrac{13.135}{0{,}875666\ldots}.

Passo 6

Calcular N. Ao dividir,
N = \dfrac{13.135}{0{,}875666\ldots} = 15.000.
Interpretação direta: o valor nominal da duplicata é \$\,15.000{,}00. (Observação: os números foram escolhidos para que o nominal saia exato.)

Passo 7

Entender o significado financeiro: ao descontar, o comerciante troca um recebível de \$\,15.000 daqui a 4 meses por \$\,13.135 hoje; ou seja, renuncia a \$\,1.865 no futuro ( 15.000-13.135=1.865) como “custo” do desconto. Para comparar com o empréstimo, vamos transformar essa operação num equivalente de taxa mensal efetiva que o comerciante está pagando implicitamente. Buscamos a taxa mensal r tal que aplicando-a sobre \$\,13.135 por 4 meses obtém-se \$\,15.000:
13.135\,(1+r)^4 = 15.000.

Passo 8

Determinar a taxa mensal implícita r. Primeiro obtemos:
(1+r)^4 = \dfrac{15.000}{13.135} \approx 1{,}141931\ldots
Agora extraímos a raiz quarta:
1+r = \biggl(\dfrac{15.000}{13.135}\biggr)^{1/4}.
Calculando numericamente (mostrando o raciocínio):
1+r \approx 1{,}03374\quad\Rightarrow\quad r \approx 0{,}03374 = 3{,}374\%\\ \text{ao mês (aprox.)}.ê
Interpretação: descontando a duplicata o comerciante está pagando implicitamente cerca de \,3{,}374\% ao mês pelo uso daquele dinheiro.

Passo 9

Calcular a alternativa (empréstimo): se o comerciante tomar \$\,13.135 hoje e pagar juros exponenciais de \,4\% ao mês durante 4 meses, o montante a ser devolvido será:
\text{Reembolso do empréstimo} = 13.135\,(1+0{,}04)^4.é
Calculando:
(1+0{,}04)^4 = 1{,}04^4 \approx 1{,}16985856,
logo
13.135\,(1{,}04)^4 \approx 13.135 \times 1{,}16985856 \approx 15.366{,}09.
O custo total dos juros do empréstimo é aproximadamente \$\,2.231{,}09 (pois 15.366{,}09-13.135=2.231{,}09).

Passo 10

Comparar as duas opções em termos monetários e percentuais:
  • Desconto da duplicata: recebe hoje \$\,13.135 e abre mão de \$\,15.000 daqui a 4 meses — custo nominal futuro renunciado = \$\,1.865. Implicita taxa mensal aproximadamente \,3{,}374\%.
  • Empréstimo: recebe hoje \$\,13.135 e terá que devolver \approx\$\,15.366{,}09 daqui a 4 meses — custo futuro efetivo = \$\,2.231{,}09. Taxa mensal contratada = \,4\%.
Conclusão: o custo (em valor futuro) do empréstimo ( \$\,2.231{,}09) é maior que o custo do desconto ( \$\,1.865); e a taxa mensal implícita do desconto ( \approx 3{,}374\%) é menor que a taxa do empréstimo ( 4\%). Logo o desconto é financeiramente mais vantajoso.

Resposta

descontar a duplicata.

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