Necessitando de capital de giro, um comerciante pode descontar comercialmente uma duplicata, com vencimento para daqui a 4 meses, a uma taxa de
ao ano, pagando uma taxa de serviços bancários de
e IOF anual de
aplicado sobre o valor nominal. Desse modo, receberá um valor descontado de
13.135,00
4 %$. Qual a melhor opção para o comerciante?
Resp.: descontar a duplicata.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- O comerciante pode descontar uma duplicata com vencimento daqui a 4 meses e, ao fazê-lo, receberá um valor descontado de
. - As taxas cobradas no desconto são: taxa comercial de
ao ano (aplicada proporcionalmente ao prazo), taxa de serviços bancários de sobre o valor nominal e IOF de ao ano (aplicado sobre o valor nominal, proporcional ao prazo). - Alternativa: tomar um empréstimo no valor de
, pelo mesmo prazo (4 meses), à taxa exponencial mensal de .
O que o enunciado pede: determinar qual das duas alternativas é financeiramente melhor para o comerciante (descontar a duplicata ou tomar o empréstimo).
Passo 2
Vamos traduzir as taxas para o mesmo período (4 meses) e escrever a equação que relaciona o valor nominal da duplicata com o valor recebido no desconto.
Explicação das ideias: quando se desconta uma duplicata o banco subtrai do valor nominal todos os encargos aplicáveis (desconto comercial proporcional ao tempo, taxa de serviço sobre o nominal e IOF proporcional ao tempo). O valor líquido recebido é o nominal menos esses encargos. Portanto, se chamarmos o valor nominal de , teremos:
Explicação das ideias: quando se desconta uma duplicata o banco subtrai do valor nominal todos os encargos aplicáveis (desconto comercial proporcional ao tempo, taxa de serviço sobre o nominal e IOF proporcional ao tempo). O valor líquido recebido é o nominal menos esses encargos. Portanto, se chamarmos o valor nominal de
Cada parcela normalmente é calculada sobre
e proporcional ao tempo quando a taxa é anual. Vamos calcular cada termo para 4 meses.
Passo 3
Calcular as parcelas do desconto sobre o valor nominal
:
- Desconto comercial (pro rata 4 meses): a taxa anual é
. Fração do ano em 4 meses é . Logo
- Taxa de serviços bancários (aplicada sobre o nominal):
. - IOF: taxa anual
, proporcional a 4 meses:
Passo 4
Escrever a equação do valor recebido no desconto. Sabemos que o comerciante recebeu
. Substituindo os encargos:
Fatorando
:
Passo 5
Somar as parcelas das taxas e simplificar o fator multiplicador:
Logo o fator é
A equação fica:
Isolando
:
Passo 6
Calcular
. Ao dividir,
Interpretação direta: o valor nominal da duplicata é
. (Observação: os números foram escolhidos para que o nominal saia exato.)
Passo 7
Entender o significado financeiro: ao descontar, o comerciante troca um recebível de
daqui a 4 meses por
hoje; ou seja, renuncia a
no futuro (
) como “custo” do desconto. Para comparar com o empréstimo, vamos transformar essa operação num equivalente de taxa mensal efetiva que o comerciante está pagando implicitamente. Buscamos a taxa mensal
tal que aplicando-a sobre
por 4 meses obtém-se
:
Passo 8
Determinar a taxa mensal implícita
. Primeiro obtemos:
Agora extraímos a raiz quarta:
Calculando numericamente (mostrando o raciocínio):
Interpretação: descontando a duplicata o comerciante está pagando implicitamente cerca de
ao mês pelo uso daquele dinheiro.
Passo 9
Calcular a alternativa (empréstimo): se o comerciante tomar
hoje e pagar juros exponenciais de
ao mês durante 4 meses, o montante a ser devolvido será:
Calculando:
logo
O custo total dos juros do empréstimo é aproximadamente
(pois
).
Passo 10
Comparar as duas opções em termos monetários e percentuais:
- Desconto da duplicata: recebe hoje
e abre mão de daqui a 4 meses — custo nominal futuro renunciado = . Implicita taxa mensal aproximadamente . - Empréstimo: recebe hoje
e terá que devolver daqui a 4 meses — custo futuro efetivo = . Taxa mensal contratada = .
Conclusão: o custo (em valor futuro) do empréstimo (
) é maior que o custo do desconto (
); e a taxa mensal implícita do desconto (
) é menor que a taxa do empréstimo (
). Logo o desconto é financeiramente mais vantajoso.
Resposta
descontar a duplicata.