Um comerciante tem duas opções para conseguir recursos junto a um banco. A primeira é descontar comercialmente uma duplicata, com vencimento em 60 dias, a uma taxa de
ao mês, pagando uma taxa de serviços bancários de
e IOF anual de
aplicado sobre o valor nominal. A segunda opção é tomar um empréstimo, no mesmo prazo, a uma taxa de juro exponencial mensal de
. Em qual das duas operações a taxa de juros é melhor para o comerciante?
Resp.: tomar o empréstimo.
Passo 1
O enunciado dá duas opções para obter recursos por 60 dias (2 meses) e pede que a gente descubra qual operação tem a taxa de juros “melhor” para o comerciante (ou seja, menor custo efetivo). Dados fornecidos:
Objetivo prático: comparar o custo mensal efetivo de cada opção. Vou normalizar o valor nominal da duplicata/emprestimo para
(R$1,00 ou 100% do valor) — isso é padrão e facilita cálculo relativo.
Passo 2
Explicação do método que vou usar (sem assumir que você sabe):
- No desconto comercial simples a instituição subtrai juros e encargos do valor nominal e entrega ao cliente o que sobra (os proventos). O custo efetivo para o cliente é a diferença entre o que ele recebeu e o valor que terá que pagar no vencimento, mas essa diferença deve ser medida em relação ao que ele recebeu (proventos), não em relação ao nominal. Por isso calculamos a taxa efetiva sobre o montante recebido.
- No empréstimo com juros exponenciais mensais a taxa de
ao mês já é uma taxa efetiva mensal (juros compostos), então podemos comparar essa taxa com a taxa efetiva mensal equivalente do desconto. - Passo prático: calcular o montante recebido na operação de desconto (com todas as deduções), obter a taxa efetiva para 2 meses, e então transformar essa taxa para uma taxa efetiva mensal equivalente. Depois comparar com
ao mês.
Passo 3
Cálculo do desconto comercial (juros simples sobre o valor nominal): a fórmula para o desconto comercial simples em
meses é
onde
é o valor nominal,
a taxa mensal e
o número de meses. Com
,
e
:
Isso significa que o desconto (juros) retira
do nominal.
Passo 4
Cálculo da taxa de serviços bancários: é cobrada sobre o valor nominal. Com
e taxa
,
Passo 5
Cálculo do IOF: o enunciado dá IOF anual de
. Para 2 meses (assumindo prorrata mensal), a parcela do ano é
. Então o IOF sobre o nominal é
(obs.: escrevi em fração porque facilita somas exatas depois.)
Passo 6
Somando todas as deduções sobre o nominal:
Comunhão em denominador comum
:
Portanto o total deduzido do nominal é
.
O que o comerciante efetivamente recebe (proventos) é
Passo 7
Taxa efetiva de custo no período de 2 meses: é a razão entre o custo real (valor que será pago no vencimento menos o que foi recebido) e o que foi recebido. Como o valor a pagar no vencimento é
e o recebido foi
,
Em decimal,
Explicando: esse número diz que, por ter recebido
hoje e dever
daqui a 2 meses, o custo efetivo sobre o que recebeu é cerca de
para os 2 meses.
Passo 8
Converter a taxa de 2 meses para taxa efetiva mensal: se
é a taxa efetiva mensal equivalente, vale a relação de capitalização composta
Logo
Portanto
Calculando numericamente (usando raiz por iteração ou aproximação):
Interpretação didática rápida: a operação de desconto, quando transformada em uma taxa mensal equivalente, custa cerca de
ao mês.
Passo 9
Comparação direta:
Como
, a opção com menor custo é tomar o empréstimo.
Resposta
tomar o empréstimo.