Um comerciante tem duas opções para conseguir recursos junto a um banco. A primeira é descontar comercialmente uma duplicata, com vencimento em 60 dias, a uma taxa de 3,8 \% ao mês, pagando uma taxa de serviços bancários de 0,4 \% e IOF anual de 1,6 \% aplicado sobre o valor nominal. A segunda opção é tomar um empréstimo, no mesmo prazo, a uma taxa de juro exponencial mensal de 4,2 \%. Em qual das duas operações a taxa de juros é melhor para o comerciante?
Resp.: tomar o empréstimo.

Passo 1

O enunciado dá duas opções para obter recursos por 60 dias (2 meses) e pede que a gente descubra qual operação tem a taxa de juros “melhor” para o comerciante (ou seja, menor custo efetivo). Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Prazo: }60\\ \text{dias} = 2\\ \text{meses}.\\\ &\text{Opção A (desconto comercial da duplicata): taxa nominal mensal }0{,}038\\ (=3{,}8\%),\\\ &\qquad\text{taxa de serviços bancários }0{,}004\\ (=0{,}4\%)\\ \text{(sobre o valor nominal)},\\\ &\qquad\text{IOF anual }0{,}016\\ (=1{,}6\%)\\ \text{aplicado sobre o valor nominal}.\\\ &\text{Opção B (empréstimo): taxa exponencial mensal }0{,}042\\ (=4{,}2\%). \end{aligned}çãçáçãé
Objetivo prático: comparar o custo mensal efetivo de cada opção. Vou normalizar o valor nominal da duplicata/emprestimo para \,1 (R$1,00 ou 100% do valor) — isso é padrão e facilita cálculo relativo.

Passo 2

Explicação do método que vou usar (sem assumir que você sabe):
  • No desconto comercial simples a instituição subtrai juros e encargos do valor nominal e entrega ao cliente o que sobra (os proventos). O custo efetivo para o cliente é a diferença entre o que ele recebeu e o valor que terá que pagar no vencimento, mas essa diferença deve ser medida em relação ao que ele recebeu (proventos), não em relação ao nominal. Por isso calculamos a taxa efetiva sobre o montante recebido.
  • No empréstimo com juros exponenciais mensais a taxa de 4{,}2\% ao mês já é uma taxa efetiva mensal (juros compostos), então podemos comparar essa taxa com a taxa efetiva mensal equivalente do desconto.
  • Passo prático: calcular o montante recebido na operação de desconto (com todas as deduções), obter a taxa efetiva para 2 meses, e então transformar essa taxa para uma taxa efetiva mensal equivalente. Depois comparar com 4{,}2\% ao mês.

Passo 3

Cálculo do desconto comercial (juros simples sobre o valor nominal): a fórmula para o desconto comercial simples em t meses é
D = N \cdot d \cdot t,
onde N é o valor nominal, d a taxa mensal e t o número de meses. Com N=1, d=0{,}038 e t=2:
D = 1 \cdot 0{,}038 \cdot 2 = 0{,}076.
Isso significa que o desconto (juros) retira 0{,}076 do nominal.

Passo 4

Cálculo da taxa de serviços bancários: é cobrada sobre o valor nominal. Com N=1 e taxa 0{,}004,
\text{Serviço} = 1 \cdot 0{,}004 = 0{,}004.ç

Passo 5

Cálculo do IOF: o enunciado dá IOF anual de 0{,}016. Para 2 meses (assumindo prorrata mensal), a parcela do ano é 2/12. Então o IOF sobre o nominal é
\text{IOF} = 1 \cdot 0{,}016 \cdot \frac{2}{12} = 0{,}016\cdot\frac{1}{6}= \frac{1}{375} \approx 0{,}0026666667.
(obs.: escrevi em fração porque facilita somas exatas depois.)

Passo 6

Somando todas as deduções sobre o nominal:
\begin{aligned} D &= 0{,}076 = \frac{19}{250},\\[4pt] \text{Serviço} &= 0{,}004 = \frac{1}{250},\\[4pt] \text{IOF} &= \frac{1}{375}. \end{aligned}ç
Comunhão em denominador comum 1500:
\frac{19}{250}+\frac{1}{250}+\frac{1}{375} = \frac{114}{1500}+\frac{6}{1500}+\frac{4}{1500}=\frac{124}{1500}=\frac{31}{375}.
Portanto o total deduzido do nominal é \displaystyle \frac{31}{375}\approx 0{,}082666\ldots.
O que o comerciante efetivamente recebe (proventos) é
P = N - \text{(deduções)} = 1 - \frac{31}{375} = \frac{344}{375}\approx 0{,}917333\ldotsçõ]

Passo 7

Taxa efetiva de custo no período de 2 meses: é a razão entre o custo real (valor que será pago no vencimento menos o que foi recebido) e o que foi recebido. Como o valor a pagar no vencimento é N=1 e o recebido foi P,
i_{2\\ \text{meses}} = \frac{1-P}{P} = \frac{\frac{31}{375}}{\frac{344}{375}} = \frac{31}{344}.
Em decimal,
i_{2\\ \text{meses}} = \frac{31}{344}\approx 0{,}09011627907\quad(\text{ou }9{,}0116279\%\\ \text{em 2 meses}).
Explicando: esse número diz que, por ter recebido P hoje e dever 1 daqui a 2 meses, o custo efetivo sobre o que recebeu é cerca de 9{,}0116\% para os 2 meses.

Passo 8

Converter a taxa de 2 meses para taxa efetiva mensal: se i_m é a taxa efetiva mensal equivalente, vale a relação de capitalização composta
(1+i_m)^2 = 1 + i_{2\\ \text{meses}}.
Logo
1+i_m = \sqrt{1+i_{2\\ \text{meses}}} = \sqrt{1+\frac{31}{344}} = \sqrt{\frac{375}{344}}.
Portanto
i_m = \sqrt{\frac{375}{344}} - 1.
Calculando numericamente (usando raiz por iteração ou aproximação):
i_m \approx 0{,}044086373\quad(\text{ou }4{,}4086373\%\\ \text{ao mês}).ê
Interpretação didática rápida: a operação de desconto, quando transformada em uma taxa mensal equivalente, custa cerca de 4{,}4086\% ao mês.

Passo 9

Comparação direta:
\begin{aligned} &\text{Desconto comercial (efetivo mensal)}\approx 4{,}4086\%\\ \text{ao mês},\\\ &\text{Empréstimo (taxa exponencial mensal dada)}=4{,}2\%\\ \text{ao mês}. \end{aligned}êéê
Como 4{,}2\%<4{,}4086\%, a opção com menor custo é tomar o empréstimo.

Resposta

tomar o empréstimo.

Exercícios relacionados