Um anagrama é uma palavra formada pela transposição das letras de outra. Quantos anagramas a palavra “MATEMATICA” possui, sem acento?
a) 151.200
b) 3.628 .800
c) 1.814 .400
d) 907.200

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas (palavras formadas pela transposição das letras) a palavra “MATEMATICA” possui, sem acento. Informações dadas e relevantes (extraídas do enunciado):
  • A palavra é “MATEMATICA”.
  • Número total de letras: n=10.
  • Contagem de cada letra:
    • letra A: 3 ocorrências,
    • letra M: 2 ocorrências,
    • letra T: 2 ocorrências,
    • letras E, I, C: 1 ocorrência cada.
  • Pergunta: determinar o número de anagramas distintos (ou seja, permutações distintas das letras, levando em conta repetições).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Se todas as n letras fossem distintas, o número de permutações seria n! (fatorial de n), porque para a primeira posição há n escolhas, para a segunda n-1, e assim por diante até 1.
  • Quando há letras repetidas, permutar entre si as letras iguais não gera palavras novas — portanto houve contagem em excesso. Para corrigir isso, divide-se por n_i! para cada grupo de letras idênticas (onde n_i é a quantidade de ocorrências dessa letra).
  • Fórmula geral: se as n letras têm multiplicidades n_1,n_2,\dots,n_k, o número de anagramas distintos é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!}.
  • Interpretação das variáveis: n é o total de posições a preencher; cada n_i é o número de letras idênticas do tipo i. Dividimos porque, por exemplo, as n_1! ordens internas das letras do tipo 1 são indistinguíveis.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos n=10 e as multiplicidades 3,2,2,1,1,1. Então
\text{anagramas}=\frac{10!}{3!\,2!\,2!\,1!\,1!\,1!}=\frac{10!}{3!\,2!\,2!},
já que 1!=1 não altera nada.

Passo 4

Cálculo passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro, o valor de 10!:
10! = 10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 3\,628\,800.
  • Dividindo por 3!:
\frac{10!}{3!}=\frac{3\,628\,800}{6}=604\,800.
  • Dividindo por 2! (o primeiro):
\frac{604\,800}{2}=302\,400.
  • Dividindo pelo segundo 2!:
\frac{302\,400}{2}=151\,200.

Passo 5

Pequeno exemplo extra para fixar a ideia (opcional, reforço didático):
  • Para a palavra “AAB” (3 letras, com A repetida 2 vezes), o número de anagramas é
\frac{3!}{2!}= \frac{6}{2}=3,
que corresponde às palavras “AAB”, “ABA” e “BAA”. Isso mostra a lógica de dividir pelo fatorial das repetições.

Resposta

a) 151200

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