Um anagrama é uma palavra formada pela transposição das letras de outra. Quantos anagramas a palavra “MATEMATICA” possui, sem acento?
a) 151.200
b) 3.628 .800
c) 1.814 .400
d) 907.200
a) 151.200
b) 3.628 .800
c) 1.814 .400
d) 907.200
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas (palavras formadas pela transposição das letras) a palavra “MATEMATICA” possui, sem acento. Informações dadas e relevantes (extraídas do enunciado):
- A palavra é “MATEMATICA”.
- Número total de letras:
. - Contagem de cada letra:
- letra
: ocorrências, - letra
: ocorrências, - letra
: ocorrências, - letras
: ocorrência cada.
- letra
- Pergunta: determinar o número de anagramas distintos (ou seja, permutações distintas das letras, levando em conta repetições).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Se todas as
letras fossem distintas, o número de permutações seria (fatorial de ), porque para a primeira posição há escolhas, para a segunda , e assim por diante até . - Quando há letras repetidas, permutar entre si as letras iguais não gera palavras novas — portanto houve contagem em excesso. Para corrigir isso, divide-se por
para cada grupo de letras idênticas (onde é a quantidade de ocorrências dessa letra). - Fórmula geral: se as
letras têm multiplicidades , o número de anagramas distintos é
- Interpretação das variáveis:
é o total de posições a preencher; cada é o número de letras idênticas do tipo . Dividimos porque, por exemplo, as ordens internas das letras do tipo 1 são indistinguíveis.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos
e as multiplicidades
. Então
já que
não altera nada.
Passo 4
Cálculo passo a passo (sem pular etapas):
- Primeiro, o valor de
:
- Dividindo por
:
- Dividindo por
(o primeiro):
- Dividindo pelo segundo
:
Passo 5
Pequeno exemplo extra para fixar a ideia (opcional, reforço didático):
- Para a palavra “AAB” (3 letras, com
repetida 2 vezes), o número de anagramas é
que corresponde às palavras “AAB”, “ABA” e “BAA”. Isso mostra a lógica de dividir pelo fatorial das repetições.
Resposta
a)