Uma comissão de 5 pessoas será formada a partir de um grupo de 8 homens e 4 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas de modo que haja exatamente 2 mulheres?
a) 336
b) 560
c) 224
d) 448

Passo 1

O enunciado pede: formar comissões de 5 pessoas a partir de um grupo com 8 homens e 4 mulheres, de modo que haja exatamente 2 mulheres na comissão. Informações dadas:
  • Total de homens disponíveis: 8.
  • Total de mulheres disponíveis: 4.
  • Tamanho da comissão: 5.
  • Condição: exatamente 2 mulheres (logo exatamente 3 homens).
    A pergunta é: quantas comissões diferentes satisfazem essa condição?

Passo 2

Idea principal (explicação do raciocínio): uma comissão é um subconjunto de pessoas onde a ordem não importa. Para ter exatamente 2 mulheres e 3 homens, primeiro escolhemos quais 2 mulheres entre as 4 serão incluídas, e depois escolhemos quais 3 homens entre os 8 serão incluídos. Essas duas escolhas são independentes (escolher as mulheres não afeta de que modo escolhemos os homens), então o número total de comissões é o produto do número de maneiras de escolher as mulheres pelo número de maneiras de escolher os homens. Esse é o Princípio Fundamental da Contagem (regra do produto).

Passo 3

Como contamos “escolhas sem ordem”? Usamos combinações. A combinação "escolher k elementos entre n" é dada por
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Essa fórmula conta quantos subconjuntos distintos de tamanho k existem em um conjunto de n elementos, sem considerar ordem.

Passo 4

Calcular o número de maneiras de escolher exatamente 2 mulheres entre as 4:
\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!}.
Expandindo os fatoriais e simplificando:
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24,\qquad 2! = 2.
\binom{4}{2} = \frac{24}{2\cdot2} = \frac{24}{4} = 6.
Logo há 6 maneiras de escolher as 2 mulheres.

Passo 5

Calcular o número de maneiras de escolher exatamente 3 homens entre os 8:
\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!\,5!}.
É prático cancelar grande parte dos fatoriais:
\binom{8}{3} = \frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{(3\cdot2\cdot1)\,5!} = \frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}.
Agora calcular:
\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1} = \frac{336}{6} = 56.
Logo há 56 maneiras de escolher os 3 homens.

Passo 6

Aplicar a regra do produto para combinar as escolhas (mulheres \times homens):
\text{total} = \binom{4}{2}\cdot\binom{8}{3} = 6\cdot56 = 336.
Portanto o número de comissões com exatamente 2 mulheres é 336.

Passo 7

Conferindo com as alternativas dadas, a opção correta é a letra correspondente ao valor encontrado.

Resposta

a) 336

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