Uma comissão de 5 pessoas será formada a partir de um grupo de 8 homens e 4 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas de modo que haja exatamente 2 mulheres?
a) 336
b) 560
c) 224
d) 448
a) 336
b) 560
c) 224
d) 448
Passo 1
O enunciado pede: formar comissões de 5 pessoas a partir de um grupo com 8 homens e 4 mulheres, de modo que haja exatamente 2 mulheres na comissão. Informações dadas:
- Total de homens disponíveis:
. - Total de mulheres disponíveis:
. - Tamanho da comissão:
. - Condição: exatamente
mulheres (logo exatamente homens).
A pergunta é: quantas comissões diferentes satisfazem essa condição?
Passo 2
Idea principal (explicação do raciocínio): uma comissão é um subconjunto de pessoas onde a ordem não importa. Para ter exatamente
mulheres e
homens, primeiro escolhemos quais
mulheres entre as
serão incluídas, e depois escolhemos quais
homens entre os
serão incluídos. Essas duas escolhas são independentes (escolher as mulheres não afeta de que modo escolhemos os homens), então o número total de comissões é o produto do número de maneiras de escolher as mulheres pelo número de maneiras de escolher os homens. Esse é o Princípio Fundamental da Contagem (regra do produto).
Passo 3
Como contamos “escolhas sem ordem”? Usamos combinações. A combinação "escolher
elementos entre
" é dada por
onde
(fatorial de
) significa
. Essa fórmula conta quantos subconjuntos distintos de tamanho
existem em um conjunto de
elementos, sem considerar ordem.
Passo 4
Calcular o número de maneiras de escolher exatamente
mulheres entre as
:
Expandindo os fatoriais e simplificando:
Logo há
maneiras de escolher as
mulheres.
Passo 5
Calcular o número de maneiras de escolher exatamente
homens entre os
:
É prático cancelar grande parte dos fatoriais:
Agora calcular:
Logo há
maneiras de escolher os
homens.
Passo 6
Aplicar a regra do produto para combinar as escolhas (mulheres
homens):
Portanto o número de comissões com exatamente
mulheres é
.
Passo 7
Conferindo com as alternativas dadas, a opção correta é a letra correspondente ao valor encontrado.
Resposta
a) 336