Em uma corrida com 10 atletas competindo, de quantas maneiras distintas o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares) pode ser formado?
a) 720
b) 1000
c) 120
d) 30
e) 90
a) 720
b) 1000
c) 120
d) 30
e) 90
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
atletas competindo. - Quer-se contar de quantas maneiras distintas se pode formar o pódio, ou seja, atribuir os lugares de primeiro, segundo e terceiro.
- As opções de resposta são:
a)
b)
c)
d)
e)
O que o problema pede: o número de maneiras distintas de escolher uma sequência ordenada de
atletas (primeiro, segundo e terceiro) dentre
.
Passo 2
Entendendo o que muda quando a ordem importa (explicação didática e passo a passo):
- Aqui a ordem importa porque primeiro lugar, segundo lugar e terceiro lugar são posições distintas; trocar dois atletas gera um pódio diferente.
- Uma forma muito intuitiva de contar é pensar nas escolhas sequenciais:
- Para o primeiro lugar há
possibilidades (qualquer um dos atletas). - Depois de escolher o primeiro, para o segundo lugar restam
possibilidades (não se pode repetir o atleta já colocado em primeiro). - Depois de escolher os dois primeiros, para o terceiro lugar restam
possibilidades.
- Para o primeiro lugar há
- Pela regra do produto (quando um evento é composto por etapas independentes de escolha, multiplicam-se as possibilidades), o número total de pódios é o produto dessas quantidades.
Passo 3
Cálculo direto pelas escolhas sequenciais (contagem passo a passo):
Calcule passo a passo:
Passo 4
Forma formal usando permutações e fatoriais (a mesma ideia, escrita com notação padrão):
- Definição de fatorial: para um inteiro
, . Ex.: . - Permutação de
elementos tomados a (número de sequências ordenadas de comprimento sem repetição) é dada por
- Aplicando aqui com
e :
- Cancelando
em obtemos
o que confirma o cálculo anterior.
Passo 5
Um exemplo menor para fixar a ideia (repetição didática): com
atletas, de quantas maneiras formar primeiro e segundo lugares?
- Pelo raciocínio sequencial:
opções para o primeiro e para o segundo, total . - Pela fórmula:
.
Isto mostra a mesma lógica aplicada em menor escala.
Passo 6
Conclusão: seguindo o raciocínio lógico e a formulação em permutações, o número de pódios distintos formados por
atletas ocupando os três primeiros lugares é o valor calculado acima.
Resposta
a)