Em uma corrida com 10 atletas competindo, de quantas maneiras distintas o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares) pode ser formado?
a) 720
b) 1000
c) 120
d) 30
e) 90

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 10 atletas competindo.
  • Quer-se contar de quantas maneiras distintas se pode formar o pódio, ou seja, atribuir os lugares de primeiro, segundo e terceiro.
  • As opções de resposta são:
    a) 720
    b) 1000
    c) 120
    d) 30
    e) 90
O que o problema pede: o número de maneiras distintas de escolher uma sequência ordenada de 3 atletas (primeiro, segundo e terceiro) dentre 10.

Passo 2

Entendendo o que muda quando a ordem importa (explicação didática e passo a passo):
  • Aqui a ordem importa porque primeiro lugar, segundo lugar e terceiro lugar são posições distintas; trocar dois atletas gera um pódio diferente.
  • Uma forma muito intuitiva de contar é pensar nas escolhas sequenciais:
    • Para o primeiro lugar há \,10\, possibilidades (qualquer um dos 10 atletas).
    • Depois de escolher o primeiro, para o segundo lugar restam \,9\, possibilidades (não se pode repetir o atleta já colocado em primeiro).
    • Depois de escolher os dois primeiros, para o terceiro lugar restam \,8\, possibilidades.
  • Pela regra do produto (quando um evento é composto por etapas independentes de escolha, multiplicam-se as possibilidades), o número total de pódios é o produto dessas quantidades.

Passo 3

Cálculo direto pelas escolhas sequenciais (contagem passo a passo):
10 \times 9 \times 8
Calcule passo a passo:
10 \times 9 = 90
90 \times 8 = 720

Passo 4

Forma formal usando permutações e fatoriais (a mesma ideia, escrita com notação padrão):
  • Definição de fatorial: para um inteiro n\ge1, n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Ex.: 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
  • Permutação de n elementos tomados k a k (número de sequências ordenadas de comprimento k sem repetição) é dada por
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}.
  • Aplicando aqui com n=10 e k=3:
P(10,3)=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!}.
  • Cancelando 7! em 10! obtemos
\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{7!}=10\cdot9\cdot8,
o que confirma o cálculo anterior.

Passo 5

Um exemplo menor para fixar a ideia (repetição didática): com 4 atletas, de quantas maneiras formar primeiro e segundo lugares?
  • Pelo raciocínio sequencial: 4 opções para o primeiro e 3 para o segundo, total 4\cdot3=12.
  • Pela fórmula: P(4,2)=\dfrac{4!}{2!}= \dfrac{4\cdot3\cdot2!}{2!}=4\cdot3=12.
    Isto mostra a mesma lógica aplicada em menor escala.

Passo 6

Conclusão: seguindo o raciocínio lógico e a formulação em permutações, o número de pódios distintos formados por 10 atletas ocupando os três primeiros lugares é o valor calculado acima.

Resposta

a) 720

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