Analisar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty(n2 n+1)^n.

Passo 1

O enunciado pede analisar a convergência da série
sumn=1^inftyl(n2n+1r)^n.
Este é uma série de termos não-negativos e vamos usar o teste da raiz para verificar a convergência.

Passo 2

O teste da raiz estabelece que, para an>=0, definimos
L ;=;limntoinftyraiz[n]an
Se L<1, a série sum an converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui an=l(tfracn2n+1r)^n. Logo
raiz[n]an =n2n+1
Precisamos então calcular
limntoinftyn2n+1 =limntoinfty12+tfrac1n =12

Passo 4

Como o limite do teste da raiz é
L=12<1,
concluímos que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyl(n2n+1r)^n converge absolutamente.

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