Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais
y d yd x+x=0, Resp. x^2+y^2=c

Passo 1

O enunciado pede as soluções gerais da equação diferencial
y,dydx + x = 0
Esse tipo de equação é de primeira ordem e separável, pois dá para agrupar termos em y de um lado e em x do outro. Vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevendo para separar variáveis, temos
y,dydx = -,x
Multiplicando ambos os lados por dx, fica
y,dy = -,x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y,dy = -integral x,dx
O lado esquerdo dá tfracy^22 e o direito tfracx^22, então
y^22 = -x^22 + K,
onde K é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicando tudo por 2 e definindo C=2K, obtemos
y^2 = -x^2 + C Longrightarrow x^2 + y^2 = C

Resposta

A solução geral é
x^2 + y^2 = C,
em que C é constante arbitrária.

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