Resolva as seguintes equações diferenciais e os problemas de valor inicial.
y^prime+y=y^2 ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
y' + y = y^2, y(0)=1
O conteúdo aqui é equação autonôma separável. Para resolver, vamos isolar y de um lado e x do outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação como
y' = y^2 - y = y,(y-1),
podemos separar variáveis:
dyy,(y-1) = dx

Passo 3

Fazendo frações parciais em 1/[y(y-1)]:
1y(y-1) = -1y + 1y-1
Logo,
integraldyy(y-1) = integrall(-1y + 1y-1r)dy

Passo 4

Integrando ambos os lados:
integrall(-1y + 1y-1r)dy = -ln|y| + ln|y-1| = x + C
Assim,
lnl|y-1yr| = x + C

Passo 5

Exponentiando e isolando y:
l|y-1yr| = e^x+C = K e^x,
em que K=e^C. Suprimindo o valor absoluto (absorvendo o sinal em K),
y-1y = K e^x ;Longrightarrow; 1 - 1y = K e^x ;Longrightarrow; 1y = 1 - K e^x ;Longrightarrow; y = 11 - K e^x

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(0)=1:
1 = y(0) = 11 - K e^0 = 11 - K ;Longrightarrow; 1 - K = 1 ;Longrightarrow; K = 0
Logo a solução particular é
y(x) = 11 - 0cdot e^x = 1

Passo 7

Além da família geral, note que as soluções constantes de y' = y(y-1) são os equilíbrios y=0 e y=1. A condição inicial em y(0)=1 seleciona a solução constante y(x)=1.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = 1

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