Analisar a veracidade das seguintes afirmações:
(0) Se
e
então
.
(0) Se
Passo 1
O enunciado dá duas quantidades definidas por limites e pede que verifiquemos se a soma delas é igual a
. As informações fornecidas são:
A afirmação a analisar é:
.
Passo 2
Vamos calcular
. Primeiro identifique e fatorize os polinômios do numerador e do denominador.
O numerador é . Queremos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Portanto
O numerador é
O denominador é
. Para fatorar, procuramos fatores do tipo
que deem
. Uma fatoração direta é
Observação: verificar multiplicando:
, correto.
Passo 3
Com as fatorações, a expressão em
fica
Como estamos calculando
, o fator
causa indeterminação
, mas podemos cancelar esse fator (é um caso de descontinuidade removível). Após cancelar:
Agora podemos avaliar o limite substituindo
:
Explicando didaticamente: sempre que um limite racional dá forma
podemos tentar fatorar e cancelar o fator comum; se a função resultante for contínua no ponto, basta substituir.
Passo 4
Agora vamos calcular
. Observe o numerador
. Podemos fatorar procurando dois números cujo produto seja
e soma seja
: são
e
. Assim
Então a razão original é
Quando
tanto
quanto
tendem a
, gerando indeterminação
. Precisamos eliminar esse fator comum.
Passo 5
Usamos a identidade que relaciona diferença de raízes com diferença de quadrados:
Substituindo na expressão do numerador:
Agora o fator
cancela com o denominador (para
), ficando
Como a expressão à direita é contínua em
, podemos avaliar o limite substituindo
:
Didaticamente: racionalizar (ou usar a identidade acima) é uma técnica padrão para tratar limites que envolvem raízes quando aparece a diferença
.
Passo 6
Somando os resultados:
A afirmação do enunciado dizia que
. Comparando,
porque há um termo extra
.
Resposta
Falsa.