Analisar a veracidade das seguintes afirmações:
(0) Se m=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{2 x^{2}-x-1} e n=\lim _{x \rightarrow 5^{+}} \frac{x^{2}-9 x+20}{\sqrt{x}-\sqrt{5}} então m+n=2 \sqrt{5}.

Passo 1

O enunciado dá duas quantidades definidas por limites e pede que verifiquemos se a soma delas é igual a 2\sqrt{5}. As informações fornecidas são:
m=\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+x-2}{2x^{2}-x-1},
n=\lim_{x\to 5^{+}}\frac{x^{2}-9x+20}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}.
A afirmação a analisar é: m+n=2\sqrt{5}.

Passo 2

Vamos calcular m. Primeiro identifique e fatorize os polinômios do numerador e do denominador.
O numerador é x^{2}+x-2. Queremos dois números cujo produto seja -2 e cuja soma seja 1. Esses números são 2 e -1. Portanto
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
O denominador é 2x^{2}-x-1. Para fatorar, procuramos fatores do tipo (ax+b)(cx+d) que deem 2x^{2}-x-1. Uma fatoração direta é
2x^{2}-x-1=(2x+1)(x-1).
Observação: verificar multiplicando: (2x+1)(x-1)=2x^{2}-2x+x-1=2x^{2}-x-1, correto.

Passo 3

Com as fatorações, a expressão em m fica
\frac{x^{2}+x-2}{2x^{2}-x-1}=\frac{(x+2)(x-1)}{(2x+1)(x-1)}.
Como estamos calculando \lim_{x\to 1}, o fator (x-1) causa indeterminação 0/0, mas podemos cancelar esse fator (é um caso de descontinuidade removível). Após cancelar:
\frac{(x+2)(x-1)}{(2x+1)(x-1)}=\frac{x+2}{2x+1}\quad\text{para }x\neq 1.
Agora podemos avaliar o limite substituindo x=1:
m=\frac{1+2}{2\cdot 1+1}=\frac{3}{3}=1.
Explicando didaticamente: sempre que um limite racional dá forma 0/0 podemos tentar fatorar e cancelar o fator comum; se a função resultante for contínua no ponto, basta substituir.

Passo 4

Agora vamos calcular n. Observe o numerador x^{2}-9x+20. Podemos fatorar procurando dois números cujo produto seja 20 e soma seja -9: são -5 e -4. Assim
x^{2}-9x+20=(x-5)(x-4).
Então a razão original é
\frac{x^{2}-9x+20}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}=\frac{(x-5)(x-4)}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}.
Quando x\to 5^{+} tanto x-5 quanto \sqrt{x}-\sqrt{5} tendem a 0, gerando indeterminação 0/0. Precisamos eliminar esse fator comum.

Passo 5

Usamos a identidade que relaciona diferença de raízes com diferença de quadrados:
x-5=(\sqrt{x}-\sqrt{5})(\sqrt{x}+\sqrt{5}).
Substituindo na expressão do numerador:
(x-5)(x-4)=(\sqrt{x}-\sqrt{5})(\sqrt{x}+\sqrt{5})(x-4).
Agora o fator \sqrt{x}-\sqrt{5} cancela com o denominador (para x\neq 5), ficando
\frac{(x-5)(x-4)}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}=(\sqrt{x}+\sqrt{5})(x-4)\quad\text{para }x\neq 5.
Como a expressão à direita é contínua em x=5, podemos avaliar o limite substituindo x=5:
n=(\sqrt{5}+\sqrt{5})(5-4)=2\sqrt{5}\cdot 1=2\sqrt{5}.
Didaticamente: racionalizar (ou usar a identidade acima) é uma técnica padrão para tratar limites que envolvem raízes quando aparece a diferença \sqrt{x}-\sqrt{a}.

Passo 6

Somando os resultados:
m+n=1+2\sqrt{5}.
A afirmação do enunciado dizia que m+n=2\sqrt{5}. Comparando,
1+2\sqrt{5}\neq 2\sqrt{5},
porque há um termo extra 1.

Resposta

Falsa. m+n=1+2\sqrt{5}

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