Seja
definida por
, em que
é a função dada por
. Seja
e
. Julgue os itens abaixo:
(0)
é decrescente no intervalo[
].
(1)
.
(2)
é ponto crítico de
ou
.
(3)
é convexa no intervalo
.
(4) $0 \leq f(x, y) \leq f(a, a), \forall(x, y) \in K.
(0)
(1)
(2)
(3)
(4) $0 \leq f(x, y) \leq f(a, a), \forall(x, y) \in K.
Passo 1
O enunciado fornece as funções e os dados abaixo e pede que eu julgue os itens (0) a (4).
- Função
dada por
- Função
dada por
- Constante
. - Conjunto
.
Itens a julgar:
(0) é decrescente em
.
(1) .
(2) é ponto crítico de
ou
.
(3) é convexa em
.
(4) .
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
A partir daqui eu vou resolver cada item passo a passo, explicando o conceito usado e mostrando as contas detalhadas.
Passo 2
Item (0): verificar se
é decrescente em
.
Primeiro cálculo a derivada de
. A derivada serve para saber a variação local da função: se
a função é crescente em torno de
; se
é decrescente; se
pode ser ponto crítico.
Calculemos
Os zeros de
são
e
. Agora verifico o sinal de
em
. Para
temos
e
(pois
), então
em todo
. Isso significa que
é crescente no intervalo
. No ponto
e em
a derivada é zero, mas no interior é crescente.
Conclusão do passo: a afirmação "
é decrescente em
" é falsa — na verdade
é crescente em
(mais precisamente em
).
Passo 3
Item (1): calcular
e
.
Lembrete: o gradiente
em
é o vetor das derivadas parciais
Como
, uso a regra do produto (derivas parciais tratam a outra variável como constante):
Agora avalio nos pontos pedidos. Primeiro encontro valores de
e
em
:
Então para qualquer
e qualquer
vale
Similarmente
Conclusão do passo: a afirmação (1) é verdadeira.
Passo 4
Item (2): encontrar todos os pontos críticos de
e verificar a proposição.
Ponto crítico em
é ponto onde
, isto é
Essa é um sistema que podemos resolver analisando zeros de
e de
.
Já calculei antes:
Agora reúno os casos possíveis que satisfazem simultaneamente as duas equações. Uma maneira sistemática: cada equação é um produto igual a zero, então em cada uma pelo menos um fator é zero. Logo as possibilidades combinadas dão:
-
Se
então e . Então para qualquer temos e . Logo todos os pontos com são pontos críticos (toda a reta ). -
Simetricamente, se
então todos os pontos com são pontos críticos (toda a reta ). -
Se
então e . A primeira equação força , ou seja ou . A segunda equação já é satisfeita porque . Portanto pontos e são críticos (mas com genérico não é crítico, só ). -
Se
então e (faço o cálculo: ). Com a primeira equação é satisfeita para qualquer ; a segunda pede e como isso força , ou seja . Assim os pontos e são críticos. Note que está já na reta , mas é um ponto extra não pertencente às retas ou . -
Pelo simétrismo, se
então deve ser ou ; se então deve ser ou . Esses dão pontos já listados.
Reunindo tudo: o conjunto de pontos críticos de
é
Isto é: toda a reta
, toda a reta
(essas duas retas se cruzam em
), e ainda os dois pontos
e
. Em particular há infinitos pontos críticos (as retas).
A afirmação (2) dizia que os únicos pontos críticos são
ou
. Isso é falso, porque existem muitos outros pontos críticos (por exemplo todo ponto
e
, e também pontos como
,
, etc.).
Conclusão do passo: a afirmação (2) é falsa.
Passo 5
Item (3): verificar convexidade de
em
.
Lembrete: para funções duas vezes diferenciáveis em um intervalo, uma condição prática para convexidade é que a segunda derivada seja não negativa nesse intervalo:
convexa.
Já tenho
. Derivo novamente:
A condição
equivale a
Agora avalio
:
Portanto em todo o intervalo
temos
, logo
(estritamente positiva), o que implica que
é convexa em
. (Se o intervalo fosse fechado incluindo
, em
teríamos
, ainda assim não contradizendo convexidade; mas o enunciado usa intervalo aberto.)
Conclusão do passo: a afirmação (3) é verdadeira.
Passo 6
Item (4): mostrar que
para todo
.
Primeiro, verifico sinal de
em
. Para
temos
e
, então
Logo para
o produto
é produto de dois números não negativos; portanto
. Isso mostra a primeira desigualdade
.
Agora para a desigualdade superior: quero ver que
atinge valor máximo em
dentro de
. Observação útil: como
e
em
, o produto é maximizado quando cada fator é maximizado individualmente no intervalo
. Assim basta encontrar o máximo de
em
.
Busco extremos de
em
. Zeros de
em
são
e
. Valores nos candidatos:
Pelo sinal de
(positivo em
e negativo em
) concluímos que
é o máximo global de
em
. Assim, para todo
vale
. Multiplicando desigualdades não negativas obtemos, para todo
,
Como curiosidade numérica:
Conclusão do passo: a afirmação (4) é verdadeira.
Passo 7
Resumo rápido (expliquei nos passos anteriores as contas e argumentos):
- (0) falso porque
em , então é crescente aí; - (1) verdadeiro porque
implica ; - (2) falso porque há muitos pontos críticos (toda a reta
, toda a reta , mais os pontos e ); - (3) verdadeiro porque
para ; - (4) verdadeiro porque
em e atinge seu máximo em , então em .
Resposta
(0) Falso
(1) Verdadeiro
(2) Falso
(3) Verdadeiro
(4) Verdadeiro
(1) Verdadeiro
(2) Falso
(3) Verdadeiro
(4) Verdadeiro