Seja f: R \times R \rightarrow R definida por f(x, y)=g(x) g(y), em que g: R \rightarrow R é a função dada por g(x)=x^{2}(2-x). Seja a=4 / 3 e K=[0,2] \times[0,2]. Julgue os itens abaixo:
(0) g é decrescente no intervalo[ 0, a ].
(1) \nabla f(x, 0)=\nabla f(0, y)=(0,0), \forall x, y \in R.
(2) p é ponto crítico de f \Leftrightarrow p=(2,2) ou p=(a, a).
(3) g é convexa no intervalo (-\infty, a / 2).
(4) $0 \leq f(x, y) \leq f(a, a), \forall(x, y) \in K.

Passo 1

O enunciado fornece as funções e os dados abaixo e pede que eu julgue os itens (0) a (4).
  • Função g: \mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
g(x)=x^{2}(2-x)=2x^{2}-x^{3}.
  • Função f: \mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=g(x)\,g(y).
  • Constante a=\dfrac{4}{3}.
  • Conjunto K=[0,2]\times[0,2].
Itens a julgar:
(0) g é decrescente em [0,a].
(1) \nabla f(x,0)=\nabla f(0,y)=(0,0),\\ \forall x,y\in\mathbb{R}.
(2) p é ponto crítico de f\Leftrightarrow p=(2,2) ou p=(a,a).
(3) g é convexa em (-\infty,a/2).
(4) 0\le f(x,y)\le f(a,a),\\ \forall (x,y)\in K.
A partir daqui eu vou resolver cada item passo a passo, explicando o conceito usado e mostrando as contas detalhadas.

Passo 2

Item (0): verificar se g é decrescente em [0,a].
Primeiro cálculo a derivada de g. A derivada serve para saber a variação local da função: se g'(x)>0 a função é crescente em torno de x; se g'(x)<0 é decrescente; se g'(x)=0 pode ser ponto crítico.
Calculemos
g(x)=2x^{2}-x^{3}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=4x-3x^{2}=x(4-3x).
Os zeros de g' são x=0 e x=\dfrac{4}{3}=a. Agora verifico o sinal de g' em (0,a). Para x\in(0,a) temos x>0 e 4-3x>0 (pois 3x<4), então g'(x)>0 em todo (0,a). Isso significa que g é crescente no intervalo (0,a). No ponto x=0 e em x=a a derivada é zero, mas no interior é crescente.
Conclusão do passo: a afirmação " g é decrescente em [0,a]" é falsa — na verdade g é crescente em [0,a] (mais precisamente em (0,a)).

Passo 3

Item (1): calcular \nabla f(x,0) e \nabla f(0,y).
Lembrete: o gradiente \nabla f em \mathbb{R}^{2} é o vetor das derivadas parciais
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Como f(x,y)=g(x)g(y), uso a regra do produto (derivas parciais tratam a outra variável como constante):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g'(x)\,g(y),\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=g(x)\,g'(y).
Agora avalio nos pontos pedidos. Primeiro encontro valores de g e g' em 0:
g(0)=0^{2}(2-0)=0,\qquad g'(0)=0(4-0)=0.
Então para qualquer x e qualquer y vale
\nabla f(x,0)=\big(g'(x)g(0),\\ g(x)g'(0)\big)=(g'(x)\cdot 0,\\ g(x)\cdot 0)=(0,0).
Similarmente
\nabla f(0,y)=(g'(0)g(y),\\ g(0)g'(y))=(0\cdot g(y),\\\ 0\cdot g'(y))=(0,0).
Conclusão do passo: a afirmação (1) é verdadeira.

Passo 4

Item (2): encontrar todos os pontos críticos de f e verificar a proposição.
Ponto crítico em \mathbb{R}^{2} é ponto onde \nabla f=(0,0), isto é
g'(x)g(y)=0,\qquad g(x)g'(y)=0.
Essa é um sistema que podemos resolver analisando zeros de g e de g'.
Já calculei antes:
g(x)=x^{2}(2-x)=0\iff x=0\\ \text{ou}\\ x=2.
g'(x)=x(4-3x)=0\iff x=0\\ \text{ou}\\ x=\frac{4}{3}=a.
Agora reúno os casos possíveis que satisfazem simultaneamente as duas equações. Uma maneira sistemática: cada equação é um produto igual a zero, então em cada uma pelo menos um fator é zero. Logo as possibilidades combinadas dão:
  • Se x=0 então g'(x)=0 e g(x)=0. Então para qualquer y temos g'(x)g(y)=0 e g(x)g'(y)=0. Logo todos os pontos com x=0 são pontos críticos (toda a reta x=0).
  • Simetricamente, se y=0 então todos os pontos com y=0 são pontos críticos (toda a reta y=0).
  • Se x=2 então g(x)=0 e g'(2)=4\cdot2-3\cdot4=8-12=-4\neq 0. A primeira equação g'(2)g(y)=0 força g(y)=0, ou seja y=0 ou y=2. A segunda equação já é satisfeita porque g(2)=0. Portanto pontos (2,0) e (2,2) são críticos (mas (2,y) com y genérico não é crítico, só y\in\{0,2\}).
  • Se x=a=\dfrac{4}{3} então g'(a)=0 e g(a)\neq 0 (faço o cálculo: g(a)=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2\left(2-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{16}{9}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{32}{27}>0). Com g'(a)=0 a primeira equação é satisfeita para qualquer y; a segunda pede g(a)g'(y)=0 e como g(a)\neq 0 isso força g'(y)=0, ou seja y\in\{0,a\}. Assim os pontos (a,0) e (a,a) são críticos. Note que (a,0) está já na reta y=0, mas (a,a) é um ponto extra não pertencente às retas x=0 ou y=0.
  • Pelo simétrismo, se y=2 então x deve ser 0 ou 2; se y=a então x deve ser 0 ou a. Esses dão pontos já listados.
Reunindo tudo: o conjunto de pontos críticos de f é
\{(x,y): x=0\\ \text{ou}\\ y=0\}\\ \cup\\ \{(a,a),\\ (2,2)\}.
Isto é: toda a reta x=0, toda a reta y=0 (essas duas retas se cruzam em (0,0)), e ainda os dois pontos (a,a) e (2,2). Em particular há infinitos pontos críticos (as retas).
A afirmação (2) dizia que os únicos pontos críticos são (2,2) ou (a,a). Isso é falso, porque existem muitos outros pontos críticos (por exemplo todo ponto (0,y) e (x,0), e também pontos como (0,2), (2,0), etc.).
Conclusão do passo: a afirmação (2) é falsa.

Passo 5

Item (3): verificar convexidade de g em (-\infty,a/2).
Lembrete: para funções duas vezes diferenciáveis em um intervalo, uma condição prática para convexidade é que a segunda derivada seja não negativa nesse intervalo: g''(x)\ge 0\Rightarrow g convexa.
Já tenho g'(x)=4x-3x^{2}. Derivo novamente:
g''(x)=4-6x=2(2-3x).
A condição g''(x)\ge 0 equivale a
4-6x\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad x\le \frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Agora avalio a/2:
\frac{a}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto em todo o intervalo (-\infty,a/2)=(-\infty,2/3) temos x<2/3, logo g''(x)>0 (estritamente positiva), o que implica que g é convexa em (-\infty,a/2). (Se o intervalo fosse fechado incluindo 2/3, em x=2/3 teríamos g''(2/3)=0, ainda assim não contradizendo convexidade; mas o enunciado usa intervalo aberto.)
Conclusão do passo: a afirmação (3) é verdadeira.

Passo 6

Item (4): mostrar que 0\le f(x,y)\le f(a,a) para todo (x,y)\in K=[0,2]^{2}.
Primeiro, verifico sinal de g em [0,2]. Para x\in[0,2] temos x^{2}\ge 0 e 2-x\ge 0, então
g(x)=x^{2}(2-x)\ge 0\quad\text{para todo }x\in[0,2].
Logo para (x,y)\in K o produto f(x,y)=g(x)g(y) é produto de dois números não negativos; portanto f(x,y)\ge 0. Isso mostra a primeira desigualdade 0\le f(x,y).
Agora para a desigualdade superior: quero ver que f atinge valor máximo em (a,a) dentro de K. Observação útil: como f(x,y)=g(x)g(y) e g(x)\ge 0 em [0,2], o produto é maximizado quando cada fator é maximizado individualmente no intervalo [0,2]. Assim basta encontrar o máximo de g em [0,2].
Busco extremos de g em [0,2]. Zeros de g' em [0,2] são x=0 e x=a. Valores nos candidatos:
g(0)=0,\qquad g(2)=0,\qquad g(a)=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}\left(2-\frac{4}{3}\right)=\frac{16}{9}\cdot\frac{2}{3}=\frac{32}{27}.
Pelo sinal de g' (positivo em (0,a) e negativo em (a,2)) concluímos que g(a) é o máximo global de g em [0,2]. Assim, para todo x\in[0,2] vale 0\le g(x)\le g(a). Multiplicando desigualdades não negativas obtemos, para todo (x,y)\in K,
0\le g(x)g(y)=f(x,y)\le g(a)g(a)=f(a,a).
Como curiosidade numérica:
g(a)=\frac{32}{27},\qquad f(a,a)=\left(\frac{32}{27}\right)^{2}=\frac{1024}{729}.
Conclusão do passo: a afirmação (4) é verdadeira.

Passo 7

Resumo rápido (expliquei nos passos anteriores as contas e argumentos):
  • (0) falso porque g'(x)>0 em (0,a), então g é crescente aí;
  • (1) verdadeiro porque g(0)=g'(0)=0 implica \nabla f(x,0)=\nabla f(0,y)=(0,0);
  • (2) falso porque há muitos pontos críticos (toda a reta x=0, toda a reta y=0, mais os pontos (a,a) e (2,2));
  • (3) verdadeiro porque g''(x)=4-6x>0 para x<2/3=a/2;
  • (4) verdadeiro porque g\ge 0 em [0,2] e g atinge seu máximo em x=a, então 0\le f\le f(a,a) em K.

Resposta

(0) Falso
(1) Verdadeiro
(2) Falso
(3) Verdadeiro
(4) Verdadeiro

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