Seja f:[-2,5] \rightarrow \mathbf{R} a função definida como f(x)=x^{2}+3, se x \leq 3 e f(x)=15-x, se x>3. Julgue as afirmativas:
(0) a função f é contínua e seu ponto de máximo ocorre para x=-2.
(1) o ponto de mínimo de f ocorre para x=0.
(2) a função f é diferenciável em todos os pontos do intervalo (-2,5).
(3) o valor da segunda derivada de f no ponto de mínimo é 2.
(4) o valor da segunda derivada de f no ponto de máximo é -1 .

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes em [-2,5]\): \[f(x)=\begin{cases} x^{2}+3, & x\le 3,\\[4pt] 15-x, & x>3. \end{cases}
Você pediu para julgar as afirmativas (0) a (4). Vou listar o que cada afirmativa diz, sem resolver ainda:
(0) A função f\] é contínua e seu ponto de máximo ocorre para \(x=-2.
(1) O ponto de mínimo de f ocorre para x=0.
(2) A função f é diferenciável em todos os pontos do intervalo (-2,5).
(3) O valor da segunda derivada de f no ponto de mínimo é 2.
(4) O valor da segunda derivada de f no ponto de máximo é -1.
Dados relevantes extraídos do enunciado que vamos usar: as duas fórmulas de f em suas regiões, o domínio fechado [-2,5] e o ponto de “troca” \,x=3, onde a definição muda.]

Passo 2

Verificação de continuidade (parte necessária para avaliar (0)).
Definição prática: uma função é contínua num ponto quando o valor da função nesse ponto coincide com os limites laterais. Aqui só precisamos checar x=3, porque para x<3 e x>3 as expressões são polinômio e reta (ambas contínuas).
Calcule o valor à esquerda em x=3:
\lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to3}(x^2+3)=3^2+3=9+3=12.
Calcule o valor à direita em x=3:
\lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to3}(15-x)=15-3=12.
O próprio valor f(3) (usando a definição para x\le3) é
f(3)=3^2+3=12.
Como \lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^+}f(x)=f(3)=12, a função é contínua em x=3. Sendo as duas expressões contínuas nas suas regiões e a junção em x=3 contínua, concluímos que f é contínua em todo [-2,5]. Portanto a primeira parte da afirmativa (0) — “a função f é contínua” — é verdadeira. Ainda não concluímos a outra parte de (0) sobre o ponto de máximo.

Passo 3

Procure máximo e mínimo em [-2,5]. Dica prática: para função contínua num intervalo fechado, o máximo e o mínimo existem e ocorrem em pontos críticos (derivada zero ou não definida) ou nas extremidades. Vamos analisar cada ramo e os pontos relevantes: extremos do intervalo x=-2 e x=5, o vértice da parábola no ramo x\le3 e o ponto x=3 onde a definição muda.
  1. Ramo x\le3: f(x)=x^2+3. Esta é uma parábola com vértice no x que anula a derivada 2x, ou seja em x=0. Valor no vértice:
f(0)=0^2+3=3.
Valores nos limites do ramo:
f(-2)=(-2)^2+3=4+3=7,
f(3)=3^2+3=9+3=12.
  1. Ramo x>3: f(x)=15-x. Esta é uma reta decrescente (coeficiente angular -1). Em (3,5] ela atinge seu maior valor quando x está mais próximo de 3 e menor valor em x=5. Como a definição no ponto 3 já é dada pela outra parte, o valor imediatamente à direita de 3 é 15-3=12 (coincide com o da esquerda, pela continuidade). Valor em x=5:
f(5)=15-5=10.
Agora compare todos os valores relevantes:
f(0)=3,\quad f(-2)=7,\quad f(3)=12,\quad f(5)=10.
O menor desses é 3 em x=0. O maior é 12 em x=3. Conclusões:
  • O ponto de mínimo global em [-2,5] é x=0 (valor 3). Logo a afirmativa (1) é verdadeira.
  • O ponto de máximo global é x=3 (valor 12), não x=-2. Portanto a afirmativa (0) é falsa no seu conjunto (mesmo que a função seja contínua, o máximo não ocorre em x=-2).

Passo 4

Diferenciabilidade (para julgar (2)).
Derivadas dentro de cada ramo (fórmulas conhecidas):
  • Para x<3 (r = polinômio): f(x)=x^2+3 tem derivada
f'(x)=2x.
  • Para x>3 (reta): f(x)=15-x tem derivada
f'(x)=-1.
Para que f seja diferenciável em todo o intervalo (-2,5) precisaria ser diferenciável em x=3 também. Verifiquemos a derivada lateral em x=3:
\lim_{x\to3^-} f'(x)=\lim_{x\to3^-} 2x = 2\cdot 3 = 6
(isto é a derivada à esquerda em 3), e
\lim_{x\to3^+} f'(x) = -1
(derivada à direita em 3). Como 6 \neq -1, as derivadas laterais não coincidem, logo f não é diferenciável em x=3. Portanto (2) é falsa. Observação: em todo ponto de (-2,5) exceto x=3 a função é diferenciável (polinômio e reta são diferenciáveis onde definidos).

Passo 5

Segunda derivada nos pontos pedidos (para julgar (3) e (4)).
Derivadas segundas nos ramos (derive f'(x)):
  • Para x<3: f'(x)=2x implica
f''(x)=2.
  • Para x>3: f'(x)=-1 implica
f''(x)=0.
Ponto de mínimo x=0: pertence ao ramo x<3, portanto podemos usar f''(0)=2. Isso confirma a afirmativa (3): verdadeira.
Ponto de máximo x=3: atenção — já vimos que f não é diferenciável em x=3, ou seja f' não existe em x=3, portanto a segunda derivada f''(3) também não existe. Não faz sentido atribuir f''(3)=-1. Logo (4) é falsa. (Além disso, a constante -1 é a derivada primeira à direita, não uma segunda derivada.)

Resumo final das afirmações (rápido e direto)

Resposta

(0) Falso
(1) Verdadeiro
(2) Falso
(3) Verdadeiro
(4) Falso

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