Seja
a função definida como
, se
e
, se
. Julgue as afirmativas:
(0) a função
é contínua e seu ponto de máximo ocorre para
.
(1) o ponto de mínimo de
ocorre para
.
(2) a função
é diferenciável em todos os pontos do intervalo
.
(3) o valor da segunda derivada de
no ponto de mínimo é 2.
(4) o valor da segunda derivada de
no ponto de máximo é -1 .
(0) a função
(1) o ponto de mínimo de
(2) a função
(3) o valor da segunda derivada de
(4) o valor da segunda derivada de
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes em
Você pediu para julgar as afirmativas (0) a (4). Vou listar o que cada afirmativa diz, sem resolver ainda:
(0) A função .
(0) A função .
(1) O ponto de mínimo de
ocorre para
.
(2) A função é diferenciável em todos os pontos do intervalo
.
(3) O valor da segunda derivada de no ponto de mínimo é
.
(4) O valor da segunda derivada de no ponto de máximo é
.
(2) A função
(3) O valor da segunda derivada de
(4) O valor da segunda derivada de
Dados relevantes extraídos do enunciado que vamos usar: as duas fórmulas de
em suas regiões, o domínio fechado
e o ponto de “troca”
, onde a definição muda.]
Passo 2
Verificação de continuidade (parte necessária para avaliar (0)).
Definição prática: uma função é contínua num ponto quando o valor da função nesse ponto coincide com os limites laterais. Aqui só precisamos checar , porque para
e
as expressões são polinômio e reta (ambas contínuas).
Definição prática: uma função é contínua num ponto quando o valor da função nesse ponto coincide com os limites laterais. Aqui só precisamos checar
Calcule o valor à esquerda em
:
Calcule o valor à direita em
:
O próprio valor
(usando a definição para
) é
Como
, a função é contínua em
. Sendo as duas expressões contínuas nas suas regiões e a junção em
contínua, concluímos que
é contínua em todo
. Portanto a primeira parte da afirmativa (0) — “a função
é contínua” — é verdadeira. Ainda não concluímos a outra parte de (0) sobre o ponto de máximo.
Passo 3
Procure máximo e mínimo em
. Dica prática: para função contínua num intervalo fechado, o máximo e o mínimo existem e ocorrem em pontos críticos (derivada zero ou não definida) ou nas extremidades. Vamos analisar cada ramo e os pontos relevantes: extremos do intervalo
e
, o vértice da parábola no ramo
e o ponto
onde a definição muda.
- Ramo
: . Esta é uma parábola com vértice no que anula a derivada , ou seja em . Valor no vértice:
Valores nos limites do ramo:
- Ramo
: . Esta é uma reta decrescente (coeficiente angular ). Em ela atinge seu maior valor quando está mais próximo de e menor valor em . Como a definição no ponto já é dada pela outra parte, o valor imediatamente à direita de é (coincide com o da esquerda, pela continuidade). Valor em :
Agora compare todos os valores relevantes:
O menor desses é
em
. O maior é
em
. Conclusões:
- O ponto de mínimo global em
é (valor ). Logo a afirmativa (1) é verdadeira. - O ponto de máximo global é
(valor ), não . Portanto a afirmativa (0) é falsa no seu conjunto (mesmo que a função seja contínua, o máximo não ocorre em ).
Passo 4
Diferenciabilidade (para julgar (2)).
Derivadas dentro de cada ramo (fórmulas conhecidas):
Derivadas dentro de cada ramo (fórmulas conhecidas):
- Para
(r = polinômio): tem derivada
- Para
(reta): tem derivada
Para que
seja diferenciável em todo o intervalo
precisaria ser diferenciável em
também. Verifiquemos a derivada lateral em
:
(isto é a derivada à esquerda em
), e
(derivada à direita em
). Como
, as derivadas laterais não coincidem, logo
não é diferenciável em
. Portanto (2) é falsa. Observação: em todo ponto de
exceto
a função é diferenciável (polinômio e reta são diferenciáveis onde definidos).
Passo 5
Segunda derivada nos pontos pedidos (para julgar (3) e (4)).
Derivadas segundas nos ramos (derive ):
Derivadas segundas nos ramos (derive
- Para
: implica
- Para
: implica
Ponto de mínimo
: pertence ao ramo
, portanto podemos usar
. Isso confirma a afirmativa (3): verdadeira.
Ponto de máximo
: atenção — já vimos que
não é diferenciável em
, ou seja
não existe em
, portanto a segunda derivada
também não existe. Não faz sentido atribuir
. Logo (4) é falsa. (Além disso, a constante
é a derivada primeira à direita, não uma segunda derivada.)
Resumo final das afirmações (rápido e direto)
Resposta
(0) Falso
(1) Verdadeiro
(2) Falso
(3) Verdadeiro
(4) Falso
(1) Verdadeiro
(2) Falso
(3) Verdadeiro
(4) Falso