Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(k) Desenvolvendo a função g(x)=integral0^x t^2 e^-t^2 d t em série de potências obtém-se g(x)= sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+3n!(2 n+3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para analisar se a afirmação sobre a função estar correta ao ser desenvolvida em uma série de potências. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração de séries, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como expandir a função exponencial e^-t^2 = sumn=0^infty (-1)^n t^2nn! em uma série de potências. A série de Taylor para é . Substituindo por , temos:

Passo 3

Agora, multiplicamos t^2 e^-t^2 = t^2 sumn=0^infty (-1)^n t^2nn! = sumn=0^infty (-1)^n t^2n + 2n! por :

Passo 4

Para encontrar g(x) = integral0^x t^2 e^-t^2 , dt = integral0^x sumn=0^infty (-1)^n t^2n + 2n! , dt , precisamos integrar essa série de 0 até :

Passo 5

Podemos trocar a ordem da soma e da integral (isso é válido devido à convergência da série):
g(x) = sumn=0^infty (-1)^nn! integral0^x t^2n + 2 , dt

Passo 6

Integrando integral0^x t^2n + 2 , dt = x^2n + 32n + 3 em relação a :

Passo 7

Substituindo de volta na série:
g(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n + 3n! (2n + 3)

Resposta

A afirmação é verdadeira. Desenvolvendo a função g(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n + 3n! (2n + 3) em série de potências, chega-se de fato a:

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