Determine vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para as curvas parametrizadas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para a curva parametrizada por
. Isso está relacionado ao estudo de curvas no espaço, onde usamos derivadas para achar esses vetores importantes. Vamos precisar calcular as derivadas da posição em relação a
e depois normalizar para obter os vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da posição
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade:
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor tangente unitário
, precisamos normalizar o vetor velocidade. Primeiro, calculamos o módulo de
:
Passo 4
Com o módulo, podemos escrever o vetor tangente unitário
:
Passo 5
Para encontrar o vetor normal unitário
, precisamos derivar o vetor tangente
em relação a
e depois normalizar. Vamos começar calculando
. Isso envolve derivar cada componente de
, o que pode ser um pouco trabalhoso, mas seguimos passo a passo.
Passo 6
Após calcular
, obtemos:
Isso envolve usar a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar cada componente.
Passo 7
Depois de encontrar
, calculamos o seu módulo:
Passo 8
Finalmente, o vetor normal unitário
é dado por:
Resposta
Os vetores tangente unitário e normal unitário para a curva
são: