Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(e) Se u_n for decrescente e u_n > 0 para todo n in N, então u_n é convergente.

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte afirmação: “Se é uma sequência decrescente e para todo , então é convergente.” Vamos verificar se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, vamos precisar entender sobre sequências monótonas (decrescentes, nesse caso) e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma sequência é chamada de decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja, para todo . Além disso, a condição nos dá um limite inferior para a sequência.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Convergência para Sequências Monótonas. Esse teorema diz que toda sequência monótona e limitada converge. Como nossa sequência é decrescente e está limitada inferiormente por 0 (porque ), ela deve convergir.

Passo 4

Para deixar claro, vamos supor que a sequência não converge. Isso significaria que ela teria pelo menos dois subsequentes limites diferentes, o que entraria em conflito com o fato de ser decrescente e ter um limite inferior. Portanto, nossa suposição de que a sequência não converge está errada.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se é decrescente e para todo , então é convergente.

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