Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(e) Se
for decrescente e
para todo
, então
é convergente.
(e) Se
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte afirmação: “Se
é uma sequência decrescente e
para todo
, então
é convergente.” Vamos verificar se isso é verdadeiro ou falso. Para isso, vamos precisar entender sobre sequências monótonas (decrescentes, nesse caso) e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência é chamada de decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
. Além disso, a condição
nos dá um limite inferior para a sequência.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema da Convergência para Sequências Monótonas. Esse teorema diz que toda sequência monótona e limitada converge. Como nossa sequência
é decrescente e está limitada inferiormente por 0 (porque
), ela deve convergir.
Passo 4
Para deixar claro, vamos supor que a sequência não converge. Isso significaria que ela teria pelo menos dois subsequentes limites diferentes, o que entraria em conflito com o fato de ser decrescente e ter um limite inferior. Portanto, nossa suposição de que a sequência não converge está errada.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
é decrescente e
para todo
, então
é convergente.