Verifique se wxy = wyx para w = e^x + x ln(y) + y ln(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se as derivadas parciais mistas e são iguais. Isso envolve conhecimentos de cálculo de derivadas parciais e a propriedade de igualdade das derivadas mistas sob certas condições.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, aplicamos a regra da derivada para cada termo da função:
Derivando em relação a :
Sabemos que:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (já que é constante em relação a ).
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da derivada de ).
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Derivando em relação a :
Sabemos que:
  • A derivada de em relação a é 0 (já que não depende de ).
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Voltando à função original:
Derivando em relação a :
Sabemos que:
  • A derivada de em relação a é 0.
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da derivada de ).
  • A derivada de em relação a é (já que é constante em relação a ).
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Derivando em relação a :
Sabemos que:
  • A derivada de em relação a é (já que é constante em relação a ).
  • A derivada de em relação a é .
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais mistas são iguais, ou seja, .

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