Analise se as afirmações são verdadeira(s) (V) ou falsa(s) (F), justificando a(s) falsa(s) (F):
. ( ) A coordenada x do vértice de uma parábola encontra-se na média entre as raízes da mesma parábola.
. ( ) Uma função quadrática f(x) de domínio real, possui como imagem todos os números reais (\operatorname{Im}(x)=R).

  1. . ( ) Se o coeficiente linear (b) de uma função afim é positivo, a função é crescente.
    . ( ) Uma função quadrática só possui concavidade para cima quando o coeficiente que acompanha x^{2} é positivo.

Passo 1

O enunciado pede que eu analise quatro afirmações e marque cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F), justificando as falsas. As quatro afirmações, na ordem dada, são:
  1. Se o coeficiente linear ( b) de uma função afim é positivo, a função é crescente.
  2. Uma função quadrática só possui concavidade para cima quando o coeficiente que acompanha x^{2} é positivo.
  3. A coordenada x do vértice de uma parábola encontra-se na média entre as raízes da mesma parábola.
  4. Uma função quadrática f(x) de domínio real possui como imagem todos os números reais (\operatorname{Im}(x)=\mathbb{R}).
As informações relevantes que vou usar (extraídas implicitamente das afirmações): formas gerais das funções
\,f_{\text{afim}}(x)=ax+b e \,f_{\text{quad}}(x)=ax^{2}+bx+c, além de relações entre coeficientes e raízes quando apropriado. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Analisando a afirmação 1: “Se o coeficiente linear ( b) de uma função afim é positivo, a função é crescente.”
Primeiro precisamos lembrar a definição de função afim e o que determina se ela é crescente. Uma função afim é da forma \,f(x)=ax+b, em que:
  • a é o coeficiente angular (a inclinação da reta),
  • b é o coeficiente linear (intercepto no eixo y).
A monotonicidade (crescer/decrescer) de \,f(x)=ax+b depende do sinal de a, não do sinal de b. Regra prática:
  • se a>0, a reta sobe quando x aumenta → função crescente;
  • se a<0, a reta desce quando x aumenta → função decrescente;
  • se a=0, a função é constante.
Para mostrar que a afirmação é falsa basta um contraexemplo simples. Considere
\,f(x)=-x+5. Aqui b=5>0 (coeficiente linear positivo), mas a=-1<0, então a função é decrescente. Portanto a afirmação 1 é FALSA.

Passo 3

Analisando a afirmação 2: “Uma função quadrática só possui concavidade para cima quando o coeficiente que acompanha x^{2} é positivo.”
Considere a função quadrática geral \,f(x)=ax^{2}+bx+c. O coeficiente a determina como a parábola “abre”:
  • se a>0, a parábola abre para cima (concavidade para cima) — tem um mínimo;
  • se a<0, a parábola abre para baixo (concavidade para baixo) — tem um máximo.
Uma forma de ver isso é derivando: f'(x)=2ax+b e f''(x)=2a. O sinal de f''(x) (a segunda derivada) determina a concavidade; como f''(x)=2a, a concavidade é para cima exatamente quando a>0. Logo a afirmação 2 é VERDADEIRA.

Passo 4

Analisando a afirmação 3: “A coordenada x do vértice de uma parábola encontra-se na média entre as raízes da mesma parábola.”
Se a parábola tem raízes (raízes reais) r_{1} e r_{2}, a função pode ser escrita como
\,f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2}).
Expandindo,
\,f(x)=a\big(x^{2}-(r_{1}+r_{2})x + r_{1}r_{2}\big).
Comparando com \,ax^{2}+bx+c, obtemos a relação
\,b=-a(r_{1}+r_{2}), ou seja \,r_{1}+r_{2}=-\dfrac{b}{a}.
A abscissa do vértice (o eixo de simetria) é dada pela fórmula clássica
\,x_{v}=-\dfrac{b}{2a}.
Agora veja que a média das raízes é
\,\dfrac{r_{1}+r_{2}}{2} = \dfrac{-\dfrac{b}{a}}{2} = -\dfrac{b}{2a} = x_{v}.
Portanto, quando a parábola tem raízes (ou seja, quando elas são reais), a coordenada x do vértice é exatamente a média aritmética das raízes. Conclusão: a afirmação 3 é VERDADEIRA (observação: para aplicar literalmente “média entre as raízes” pressupõe-se que as raízes sejam consideradas — no caso de raízes complexas a média também dá -\dfrac{b}{2a} mas a interpretação geométrica de “entre” fica sem sentido real; normalmente a afirmação é entendida no contexto de raízes reais).

Passo 5

Analisando a afirmação 4: “Uma função quadrática f(x) de domínio real possui como imagem todos os números reais (\operatorname{Im}(x)=\mathbb{R}).”
A imagem (conjunto de valores possíveis de f(x)) de \,f(x)=ax^{2}+bx+c depende do sinal de a:
  • se a>0, a parábola tem um mínimo em x_{v}=-\dfrac{b}{2a} e a imagem é \,[y_{v},\infty), onde y_{v}=f(x_{v});
  • se a<0, a parábola tem um máximo em x_{v} e a imagem é (-\infty,y_{v}].
Em nenhum dos casos (com a\neq0) a imagem é todo \mathbb{R}: sempre existe uma extremal (mínimo ou máximo) que limita a imagem para cima ou para baixo. Exemplo simples: \,f(x)=x^{2} tem domínio \mathbb{R} mas imagem [0,\infty), que não é \mathbb{R}. Portanto a afirmação 4 é FALSA.
(extra: a coordenada y do vértice pode ser escrita como \,y_{v}=f\big(-\dfrac{b}{2a}\big)= -\dfrac{\Delta}{4a}, onde \,\Delta=b^{2}-4ac, o que mostra explicitamente o valor extremo.)

Resposta

F
V
V
F

Exercícios relacionados