Analise se as afirmações são verdadeira(s) (V) ou falsa(s) (F), justificando a(s) falsa(s) (F):
. ( ) A coordenada
do vértice de uma parábola encontra-se na média entre as raízes da mesma parábola.
. ( ) Uma função quadrática
de domínio real, possui como imagem todos os números reais
.
- . ( ) Se o coeficiente linear (b) de uma função afim é positivo, a função é crescente.
. ( ) Uma função quadrática só possui concavidade para cima quando o coeficiente que acompanha
é positivo.
. ( ) Uma função quadrática
- . ( ) Se o coeficiente linear (b) de uma função afim é positivo, a função é crescente.
. ( ) Uma função quadrática só possui concavidade para cima quando o coeficiente que acompanhaé positivo.
Passo 1
O enunciado pede que eu analise quatro afirmações e marque cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F), justificando as falsas. As quatro afirmações, na ordem dada, são:
- Se o coeficiente linear (
) de uma função afim é positivo, a função é crescente. - Uma função quadrática só possui concavidade para cima quando o coeficiente que acompanha
é positivo. - A coordenada
do vértice de uma parábola encontra-se na média entre as raízes da mesma parábola. - Uma função quadrática
de domínio real possui como imagem todos os números reais .
As informações relevantes que vou usar (extraídas implicitamente das afirmações): formas gerais das funções
e
, além de relações entre coeficientes e raízes quando apropriado. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Analisando a afirmação 1: “Se o coeficiente linear (
) de uma função afim é positivo, a função é crescente.”
Primeiro precisamos lembrar a definição de função afim e o que determina se ela é crescente. Uma função afim é da forma
, em que:
-
é o coeficiente angular (a inclinação da reta), -
é o coeficiente linear (intercepto no eixo ).
A monotonicidade (crescer/decrescer) de
depende do sinal de
, não do sinal de
. Regra prática:
- se
, a reta sobe quando aumenta → função crescente; - se
, a reta desce quando aumenta → função decrescente; - se
, a função é constante.
Para mostrar que a afirmação é falsa basta um contraexemplo simples. Considere
. Aqui
(coeficiente linear positivo), mas
, então a função é decrescente. Portanto a afirmação 1 é FALSA.
Passo 3
Analisando a afirmação 2: “Uma função quadrática só possui concavidade para cima quando o coeficiente que acompanha
é positivo.”
Considere a função quadrática geral
. O coeficiente
determina como a parábola “abre”:
- se
, a parábola abre para cima (concavidade para cima) — tem um mínimo; - se
, a parábola abre para baixo (concavidade para baixo) — tem um máximo.
Uma forma de ver isso é derivando:
e
. O sinal de
(a segunda derivada) determina a concavidade; como
, a concavidade é para cima exatamente quando
. Logo a afirmação 2 é VERDADEIRA.
Passo 4
Analisando a afirmação 3: “A coordenada
do vértice de uma parábola encontra-se na média entre as raízes da mesma parábola.”
Se a parábola tem raízes (raízes reais)
e
, a função pode ser escrita como
.
Expandindo,
.
Comparando com , obtemos a relação
, ou seja
.
Expandindo,
Comparando com
A abscissa do vértice (o eixo de simetria) é dada pela fórmula clássica
.
Agora veja que a média das raízes é
Agora veja que a média das raízes é
Portanto, quando a parábola tem raízes (ou seja, quando elas são reais), a coordenada
do vértice é exatamente a média aritmética das raízes. Conclusão: a afirmação 3 é VERDADEIRA (observação: para aplicar literalmente “média entre as raízes” pressupõe-se que as raízes sejam consideradas — no caso de raízes complexas a média também dá
mas a interpretação geométrica de “entre” fica sem sentido real; normalmente a afirmação é entendida no contexto de raízes reais).
Passo 5
Analisando a afirmação 4: “Uma função quadrática
de domínio real possui como imagem todos os números reais
.”
A imagem (conjunto de valores possíveis de
) de
depende do sinal de
:
- se
, a parábola tem um mínimo em e a imagem é , onde ; - se
, a parábola tem um máximo em e a imagem é .
Em nenhum dos casos (com
) a imagem é todo
: sempre existe uma extremal (mínimo ou máximo) que limita a imagem para cima ou para baixo. Exemplo simples:
tem domínio
mas imagem
, que não é
. Portanto a afirmação 4 é FALSA.
(extra: a coordenada
do vértice pode ser escrita como
, onde
, o que mostra explicitamente o valor extremo.)
Resposta
F
V
V
F
V
V
F