Uma máquina produz
carros por dia, sendo
as horas de funcionamento da máquina. Já o lucro da empresa com apenas essa máquina funcionando é de
, em milhares de reais.
a) Determine a função quadrática
.
b) Determine o tempo mínimo para que
.
a) Determine a função quadrática
b) Determine o tempo mínimo para que
Passo 1
O enunciado dá duas informações e faz duas perguntas claras.
-
Informações dadas:
- A produção por dia (em número de carros) em função do tempo de funcionamento
(em horas) é . - O lucro da empresa (em milhares de reais) em função da produção
e do tempo é .
- A produção por dia (em número de carros) em função do tempo de funcionamento
-
Perguntas:
- (a) Determinar a função quadrática
(ou seja, escrever o lucro só em função de ). - (b) Determinar o tempo mínimo para que
(ou seja, a menor hora de funcionamento para que o lucro seja positivo).
- (a) Determinar a função quadrática
Passo 2
Primeiro vamos obter
substituindo
na expressão de
. Isso é só aplicar a regra de substituição: onde aparecer
na fórmula do lucro, colocamos
.
e como
, substituímos:
Passo 3
Agora desenvolvemos (multiplicamos e somamos termos semelhantes). Vou mostrar passo a passo para você poder repetir na prova sem erro.
Multiplicando
por cada termo de
:
Logo
Agrupando os termos constantes
e
:
Portanto obtemos a forma final
(Isto é uma função quadrática em
.)
Passo 4
Uma pequena aula sobre funções quadráticas (útil para a prova):
- Uma função quadrática tem a forma geral
, onde são constantes. - Se
a parábola “abre para baixo” (tem um máximo); se abre para cima (tem um mínimo). - Para estudar onde a quadrática é positiva ou negativa, encontramos as raízes (zeros) da equação quadrática e analisamos o sinal entre elas.
No nosso caso temos
, então
,
,
. Como
, a parábola abre para baixo, então
apenas num intervalo entre as duas raízes (se existirem).
Passo 5
Para achar onde
resolvemos a desigualdade. Começamos encontrando as raízes da equação
:
É mais confortável multiplicar por
(lembrando de inverter a desigualdade se fosse uma desigualdade; aqui é igualdade, então apenas mudamos os sinais):
Agora usamos a fórmula quadrática para resolver
:
onde
,
(note que na forma
o coeficiente
é
) e
.
Passo 6
Calculamos o discriminante
:
Como
temos duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula:
(Observe que escrevi
no numerador porque a fórmula usa
e aqui
.)
Passo 7
Vamos aproximar numericamente
e as raízes, usando aritmética simples:
Assim as raízes são
Passo 8
Agora interpretamos o sinal. Voltando à desigualdade original
e lembrando que
(parábola que abre para baixo),
acontece exatamente para valores de
entre as duas raízes encontradas:
Passo 9
Considerações físicas/práticas (importante na hora da prova):
representa horas de funcionamento em um dia, então faz sentido considerar
e, se quisermos ser ainda mais realistas,
. Além disso a produção
só é não-negativa se
. A raiz menor
já é maior que
, então não há conflito com a exigência
.
Portanto o menor tempo de funcionamento para que o lucro seja positivo é
horas.
Passo 10
Convertendo a parte decimal em minutos para uma resposta prática:
de hora em minutos é
minutos, ou seja aproximadamente
minutos (e
minuto ≈
segundos). Assim
horas ≈
hora
minutos.
Resposta
(a)
(em milhares de reais).
(b) Tempo mínimo para :
horas (≈
h
min).
(b) Tempo mínimo para