Uma máquina produz Q(t)=5 t-5 carros por dia, sendo t as horas de funcionamento da máquina. Já o lucro da empresa com apenas essa máquina funcionando é de L(Q(t), t)=5 Q(t)-1 t^{2}-20, em milhares de reais.
a) Determine a função quadrática L(t).
b) Determine o tempo mínimo para que L(t)>0.

Passo 1

O enunciado dá duas informações e faz duas perguntas claras.
  • Informações dadas:
    • A produção por dia (em número de carros) em função do tempo de funcionamento t (em horas) é \;Q(t)=5\,t-5.
    • O lucro da empresa (em milhares de reais) em função da produção Q e do tempo t é \;L(Q,t)=5\,Q-1\,t^{2}-20.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a função quadrática L(t) (ou seja, escrever o lucro só em função de t).
    • (b) Determinar o tempo mínimo para que L(t)>0 (ou seja, a menor hora de funcionamento para que o lucro seja positivo).

Passo 2

Primeiro vamos obter L(t) substituindo Q(t) na expressão de L(Q,t). Isso é só aplicar a regra de substituição: onde aparecer Q na fórmula do lucro, colocamos Q(t).
L(t)=5\cdot Q(t)-1\cdot t^{2}-20
e como Q(t)=5\,t-5, substituímos:
L(t)=5\cdot(5\,t-5)-t^{2}-20

Passo 3

Agora desenvolvemos (multiplicamos e somamos termos semelhantes). Vou mostrar passo a passo para você poder repetir na prova sem erro.
Multiplicando 5 por cada termo de (5\,t-5):
5\cdot(5\,t-5)=25\,t-25
Logo
L(t)=25\,t-25-t^{2}-20
Agrupando os termos constantes -25 e -20:
-25-20=-45
Portanto obtemos a forma final
L(t)=-t^{2}+25\,t-45
(Isto é uma função quadrática em t.)

Passo 4

Uma pequena aula sobre funções quadráticas (útil para a prova):
  • Uma função quadrática tem a forma geral \;a t^{2}+b t+c, onde a,b,c são constantes.
  • Se a<0 a parábola “abre para baixo” (tem um máximo); se a>0 abre para cima (tem um mínimo).
  • Para estudar onde a quadrática é positiva ou negativa, encontramos as raízes (zeros) da equação quadrática e analisamos o sinal entre elas.
No nosso caso temos L(t)=-t^{2}+25t-45, então a=-1, b=25, c=-45. Como a<0, a parábola abre para baixo, então L(t)>0 apenas num intervalo entre as duas raízes (se existirem).

Passo 5

Para achar onde L(t)>0 resolvemos a desigualdade. Começamos encontrando as raízes da equação L(t)=0:
-t^{2}+25\,t-45=0
É mais confortável multiplicar por -1 (lembrando de inverter a desigualdade se fosse uma desigualdade; aqui é igualdade, então apenas mudamos os sinais):
t^{2}-25\,t+45=0
Agora usamos a fórmula quadrática para resolver a t^{2}+b t + c = 0:
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=1, b=-25 (note que na forma t^{2}-25t+45 o coeficiente b é -25) e c=45.

Passo 6

Calculamos o discriminante \Delta=b^{2}-4ac:
\Delta = (-25)^{2}-4\cdot 1 \cdot 45 = 625-180 = 445.
Como \Delta>0 temos duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula:
t=\frac{25\pm\sqrt{445}}{2}
(Observe que escrevi 25 no numerador porque a fórmula usa -b e aqui -b = -(-25)=25.)

Passo 7

Vamos aproximar numericamente \sqrt{445} e as raízes, usando aritmética simples:
\sqrt{445}\approx 21,095
Assim as raízes são
t_{1}=\frac{25-21,095}{2}=\frac{3,905}{2}\approx 1,9525,
t_{2}=\frac{25+21,095}{2}=\frac{46,095}{2}\approx 23,0475.

Passo 8

Agora interpretamos o sinal. Voltando à desigualdade original L(t)>0 e lembrando que L(t)=-t^{2}+25t-45 (parábola que abre para baixo), L(t)>0 acontece exatamente para valores de t entre as duas raízes encontradas:
1,9525<t<23,0475.

Passo 9

Considerações físicas/práticas (importante na hora da prova): t representa horas de funcionamento em um dia, então faz sentido considerar t\ge 0 e, se quisermos ser ainda mais realistas, t\le 24. Além disso a produção Q(t)=5t-5 só é não-negativa se t\ge 1. A raiz menor t_{1}\approx 1,9525 já é maior que 1, então não há conflito com a exigência Q(t)\ge 0.
Portanto o menor tempo de funcionamento para que o lucro seja positivo é t\approx 1,9525 horas.

Passo 10

Convertendo a parte decimal em minutos para uma resposta prática: 0,9525 de hora em minutos é 0,9525\cdot 60\approx 57,15 minutos, ou seja aproximadamente 57 minutos (e 0,15 minuto ≈ 9 segundos). Assim 1,9525 horas ≈ 1 hora 57 minutos.

Resposta

(a) L(t)=-t^{2}+25\,t-45 (em milhares de reais).
(b) Tempo mínimo para L(t)>0: t\approx 1,9525 horas (≈ 1 h 57 min).

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