Analise as afirmações sobre os conjuntos numéricos \mathbb{N} (Naturais) e \mathbb{Z} (Inteiros) e marque V para verdadeiro ou F para falso.
A distância de um número inteiro negativo até o zero é chamada de módulo ou valor absoluto.

Passo 1

O enunciado pede para julgar uma afirmação sobre os conjuntos numéricos \mathbb{N} e \mathbb{Z}. A afirmação é:
“A distância de um número inteiro negativo até o zero é chamada de módulo ou valor absoluto.”
Informações relevantes fornecidas:
  • Os conjuntos mencionados são \mathbb{N} (naturais) e \mathbb{Z} (inteiros).
  • A afirmativa fala de “distância de um número inteiro negativo até o zero” e dá dois nomes possíveis: “módulo” ou “valor absoluto”.
  • A tarefa é decidir se essa afirmativa é verdadeira (V) ou falsa (F).

Passo 2

Definição formal de valor absoluto (módulo). Para qualquer número real (e portanto para qualquer inteiro) x\), o valor absoluto \(|x|\) é definido por \[|x|=\begin{cases} x & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x & \text{se } x<0. \end{cases}
Explicando bem devagar: a definição diz que, se x\] já é não negativo, o valor absoluto é \(x mesmo; se x é negativo, tira-se o sinal trocando x por -x, que é positivo. Essa operação mede a “distância” entre x e 0 na reta numérica, porque distância é sempre não negativa.]

Passo 3

Aplicando a definição a um inteiro negativo genérico. Seja x\in\mathbb{Z} com x<0. Pela fórmula acima, tem-se
|x|=-x.
O número -x é positivo (pois x é negativo), e exatamente representa a distância entre x e 0 na reta numérica: por exemplo, se x=-3, a distância até 0 é 3, e |-3|= -(-3)=3.

Passo 4

Exemplo concreto passo a passo (para você praticar na prova sem calculadora). Tome x=-5.
  • Pela definição, como x<0, temos |x|=-x.
  • Então |-5|=-(-5)=5.
  • Interpretação: o ponto -5 na reta está a 5 unidades do ponto 0; esse número 5 é o módulo ou valor absoluto de -5.

Passo 5

Propriedades rápidas úteis para a prova (memorização fácil e uso em exercícios):
  • Para todo x\in\mathbb{Z} vale |x|\ge 0.
  • |x|=0 se e somente se x=0.
  • |xy|=|x|\,|y| e |x+y|\le |x|+|y| (desigualdade triangular).
  • O valor absoluto transforma um inteiro em um natural com possível inclusão de zero: |\cdot|:\mathbb{Z}\to\{0,1,2,\dots\}.
Observação sobre a palavra “módulo”: no contexto de valor absoluto, “módulo” é sinônimo de “valor absoluto”. Em outros contextos (como aritmética modular) “módulo” tem outro significado, mas aqui a equivalência de termos é a usada no enunciado.

Passo 6

Conclusão do raciocínio: a definição formal de valor absoluto coincide exatamente com a ideia de “distância até o zero” mencionada no enunciado, inclusive para números inteiros negativos (onde o módulo é -x). Portanto a afirmação é correta.

Resposta

V

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