Analise as afirmações sobre os conjuntos numéricos \mathbb{N} (Naturais) e \mathbb{Z} (Inteiros) e marque V para verdadeiro ou F para falso.
O número zero pertence tanto ao conjunto \mathbb{N} quanto ao conjunto \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se a afirmativa abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F):
“O número zero pertence tanto ao conjunto \mathbb{N} quanto ao conjunto \mathbb{Z}.”
Informações dadas explicitamente:
  • A afirmação envolve os conjuntos numéricos \mathbb{N} (naturais) e \mathbb{Z} (inteiros).
  • A afirmação afirma que o elemento \,0\,$ pertence a ambos os conjuntos.

Passo 2

Entender o que significa dizer que um número “pertence” a um conjunto.
Explicação didática:
  • A notação \,a\in S significa que o elemento a é um membro do conjunto S.
  • Para verificar a afirmação, preciso saber se \,0\in\mathbb{Z} e se \,0\in\mathbb{N}.

Passo 3

Verificação para o conjunto dos inteiros \mathbb{Z}.
Definição e razão:
  • O conjunto \mathbb{Z} dos inteiros é usualmente \mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}.
  • Nessa definição está claro que \,0 aparece explicitamente entre os inteiros.
  • Logo, sempre vale \,0\in\mathbb{Z}.
Exemplo concreto:
  • 0 é inteiro porque pode ser escrito como 1-1, ou 0 é o elemento neutro da adição entre inteiros.

Passo 4

Verificação para o conjunto dos naturais \mathbb{N} e discussão sobre convenções.
Explicação didática e convenções:
  • Existem duas convenções comuns para \mathbb{N}:
    • Conveção A: \displaystyle \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} (naturais incluindo o zero).
    • Conveção B: \displaystyle \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} (naturais sem o zero).
  • Muitos textos modernos de matemática e de computação adotam a Conveção A, porque incluir o 0 torna propriedades como “elemento neutro da adição” e fórmulas de contagem mais simples.
  • Em provas e exercícios universitários no Brasil é muito comum (e frequentemente presumido) que \mathbb{N} inclua o zero, salvo indicação em contrário.
Decisão adotada:
  • Como o enunciado não especifica qual convenção usar e seguindo a prática mais comum em contextos acadêmicos atuais, adotarei a convenção \displaystyle \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}.
  • Com essa convenção temos explicitamente \,0\in\mathbb{N}.
Observação importante (para a prova):
  • Se a prova ou o professor explicitamente definir \mathbb{N} como começando em 1, então a afirmação seria falsa; por isso sempre verifique a convenção dada no enunciado. Aqui, por falta dessa especificação, usei a convenção que inclui 0.

Passo 5

Conclusão final lógica a partir das verificações acima.
  • Já mostramos que \,0\in\mathbb{Z}.
  • Adotando a convenção usual \displaystyle \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}, temos \,0\in\mathbb{N}.
  • Portanto, a afirmação dada é verdadeira sob a convenção adotada.

Resposta

V

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