Analise cada uma das funções definidas abaixo com relação à existência de máximos ou mínimos locais e absolutos.
f(x)=x e^{-x}, \quad x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a existência de extremos locais e absolutos da função
f(x)=x\,e^{-x},\quad x\in\mathbb{R}.
O conteúdo principal aqui é cálculo diferencial: precisamos encontrar pontos críticos via f'(x), usar f''(x) para classificar o tipo de extremo e examinar o comportamento de f(x) nos limites x\to\pm\infty.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando o produto:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\cdot e^{-x}\bigr) =e^{-x}+x\cdot(-e^{-x}) =e^{-x}(1-x).
Para achar pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{-x}(1-x)=0.
Como e^{-x}\neq0 para todo x, a única solução é
1-x=0 \;\Longrightarrow\; x=1.

Passo 3

Para saber se x=1 é máximo ou mínimo local, calculamos a segunda derivada:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}(1-x)\bigr) =-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1) =e^{-x}(x-2).
Em x=1 temos
f''(1)=e^{-1}(1-2)=-e^{-1}<0,
logo f tem um máximo local em x=1.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento nos extremos do domínio:
  • Quando x\to+\infty, o fator e^{-x} domina e
    \displaystyle f(x)=x\,e^{-x}\to0^+.
  • Quando x\to-\infty, temos e^{-x}\to+\infty e x\to-\infty, de modo que
    \displaystyle f(x)=x\,e^{-x}\to-\infty.
Portanto não há mínimo absoluto (o valor de f cai sem limite) e o máximo local em x=1 é também máximo absoluto, pois nenhum outro ponto produz valor maior.

Resposta

A função f(x)=x\,e^{-x} tem um único extremo em x=1, que é máximo local e absoluto com valor
f(1)=e^{-1}=\frac{1}{e}.
Não há mínimos locais nem mínimos absolutos (o infimum é -\infty).

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