Analise cada uma das funções definidas abaixo com relação à existência de máximos ou mínimos locais e absolutos.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a existência de extremos locais e absolutos da função
O conteúdo principal aqui é cálculo diferencial: precisamos encontrar pontos críticos via
, usar
para classificar o tipo de extremo e examinar o comportamento de
nos limites
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
usando o produto:
Para achar pontos críticos, resolvemos
Como
para todo
, a única solução é
Passo 3
Para saber se
é máximo ou mínimo local, calculamos a segunda derivada:
Em
temos
logo
tem um máximo local em
.
Passo 4
Agora analisamos o comportamento nos extremos do domínio:
- Quando
, o fator domina e
. - Quando
, temos e , de modo que
.
Portanto não há mínimo absoluto (o valor de
cai sem limite) e o máximo local em
é também máximo absoluto, pois nenhum outro ponto produz valor maior.
Resposta
A função
tem um único extremo em
, que é máximo local e absoluto com valor
Não há mínimos locais nem mínimos absolutos (o infimum é
).