1. A função f(x)=2-|1-x|, definida para 0 \leq x \leq 2, admite algum ponto de máximo ou de mínimo?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2 - \lvert 1 - x\rvert
definida no intervalo fechado [0,2]. O objetivo é verificar se há pontos de máximo ou mínimo. Vamos usar a interpretação geométrica da função valor absoluto, escrevendo-a em forma piecewise e analisando monotonicidade em cada parte.

Passo 2

Reescrevendo \lvert 1 - x\rvert em duas regiões:
Para 0 \le x < 1 vale 1 - x, logo
f(x)=2 - (1 - x)=1 + x.
Para 1 \le x \le 2 vale x - 1, logo
f(x)=2 - (x - 1)=3 - x.

Passo 3

Calculemos os valores nos pontos críticos do domínio:
f(0)=1+0=1,\quad f(1)=1+1=2,\quad f(2)=3-2=1.

Passo 4

Observando as duas expressões lineares:
  • Em [0,1), f(x)=1+x tem coeficiente angular +1, logo é crescente.
  • Em (1,2], f(x)=3-x tem coeficiente angular -1, logo é decrescente.
    Portanto em x=1 a função passa de crescente para decrescente, caracterizando um máximo. Nos extremos x=0 e x=2 a função só cresce (à direita de 0) ou só decresce (à esquerda de 2), caracterizando mínimos locais que são, de fato, globais no intervalo.

Resposta

A função admite um único ponto de máximo em x=1 com valor f(1)=2 e admite pontos de mínimo em x=0 e x=2, ambos com valor f(0)=f(2)=1.

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