- A função
, definida para
, admite algum ponto de máximo ou de mínimo?
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo fechado
. O objetivo é verificar se há pontos de máximo ou mínimo. Vamos usar a interpretação geométrica da função valor absoluto, escrevendo-a em forma piecewise e analisando monotonicidade em cada parte.
Passo 2
Reescrevendo
em duas regiões:
Para vale
, logo
Para
Para
vale
, logo
Passo 3
Calculemos os valores nos pontos críticos do domínio:
Passo 4
Observando as duas expressões lineares:
- Em
, tem coeficiente angular , logo é crescente. - Em
, tem coeficiente angular , logo é decrescente.
Portanto ema função passa de crescente para decrescente, caracterizando um máximo. Nos extremos e a função só cresce (à direita de 0) ou só decresce (à esquerda de 2), caracterizando mínimos locais que são, de fato, globais no intervalo.
Resposta
A função admite um único ponto de máximo em
com valor
e admite pontos de mínimo em
e
, ambos com valor
.