A análise de certos circuitos eletrônicos envolve a fórmula
Passo 1
O enunciado fornece a fórmula
Não há uma pergunta explícita no enunciado. Vou, portanto, tratar o problema como uma tarefa pedagógica: identificar e corrigir possíveis erros na fórmula, explicar de onde ela vem (passo a passo), analisar o comportamento de
em função de
(valores limites, monotonicidade), calcular derivada e achar frequências relevantes (ex.: quando a corrente cai para metade do valor em
e quando ela cai a
do valor em
). As informações dadas são as variáveis
, — assumimos todas positivas.
Passo 2
Correção da fórmula e origem física/algébrica (sem pular etapas). Primeiro, é muito provável que a fórmula correta seja
e não com
. Vou mostrar por que.
Explicando a origem: em um circuito série com um resistor e um indutor, a impedância complexa
é a soma
onde
é a unidade imaginária (
). A corrente complexa (amplificação fasorial) é dada por uma versão de Lei de Ohm:
O que interessa para a amplitude (valor eficaz) da corrente é o módulo de
. O módulo de um número complexo
é
. Aplicando isso:
Portanto a amplitude da corrente é
Observação: escrevemos
, isto é, o quadrado se aplica ao produto
.
Passo 3
Análise dimensional (por que
está errado). Unidades:
O produto
tem unidade
ou seja,
é um valor em ohms (como deve ser, porque é reatância indutiva). Mas
teria unidade
portanto não pode somar com
(que é
). Logo a forma correta é
(ou
).
Passo 4
Valores limites e interpretação intuitiva (passo a passo). Calculemos:
- Em
:
Interpretação: em corrente contínua (
) o indutor age como curto-circuito de reatância zero, então a corrente é
.
- Quando
:
porque o termo
domina e o denominador cresce sem limite. Interpretação: em altas frequências o indutor apresenta grande reatância, reduzindo fortemente a corrente.
Passo 5
Monotonicidade: calcule a derivada
passo a passo, usando regra da cadeia. Escreva
Derivando em relação a
:
onde usei que a derivada de
em relação a
é
. Simplificando os fatores
e
:
Observações:
- Para
, todos os termos são positivos, logo . Assim é estritamente decrescente em . - A derivada também mostra a taxa de queda: para
pequeno a queda é quase zero (domina ), para grande a queda diminui em módulo porque o denominador cresce mais rápido.
Passo 6
Freqüência onde a corrente vale metade da corrente em
. Quero
tal que
Substituindo
e cancelando
(assumindo
):
Inverta ambos os lados (passo importante e simples):
Eleve ao quadrado:
Isolando
:
Tire raiz quadrada (tomando a raiz positiva para
):
Portanto a frequência para a qual a corrente cai para metade do valor DC é
.
Passo 7
Freqüência “-3 dB” (quando a corrente cai a
do valor em
). Essa frequência é útil porque corresponde à potência caída pela metade. Queremos
tal que
Seguindo passos semelhantes:
Logo a frequência de corte (ponto em que a corrente é
do valor em
) é
.
Passo 8
Exemplo numérico totalmente sem mistério (faça na prova igualzinho): escolha
,
,
.
- Corrente em
:
- Frequência -3 dB:
Corrente então:
- Frequência onde
fica metade:
Você pode calcular esses valores à mão seguindo os passos algébricos mostrados.
Passo 9
Dicas práticas para a prova (pequenos macetes):
- Sempre verifique unidades:
tem que ter unidade de ohms; se aparecer algo está errado. - Para manipular
e resolver equações, uma boa estratégia é inverter (quando conveniente) e depois elevar ao quadrado — faça isso passo a passo para evitar sinais errados. - Memorize o caso padrão: série
e → → → . A partir daí vai ser só álgebra. - Se pedirem taxas de variação, use a forma
e aplique regra da cadeia como fiz no passo da derivada.