A análise de certos circuitos eletrônicos envolve a fórmula
I=\frac{V}{\sqrt{R^{2}+L^{2} \cdot \omega}}

Passo 1

O enunciado fornece a fórmula
I=\frac{V}{\sqrt{R^{2}+L^{2}\cdot \omega}}
Não há uma pergunta explícita no enunciado. Vou, portanto, tratar o problema como uma tarefa pedagógica: identificar e corrigir possíveis erros na fórmula, explicar de onde ela vem (passo a passo), analisar o comportamento de I em função de \omega (valores limites, monotonicidade), calcular derivada e achar frequências relevantes (ex.: quando a corrente cai para metade do valor em \omega=0 e quando ela cai a 1/\sqrt{2} do valor em \omega=0). As informações dadas são as variáveis \;V,\;R,\;L,\;\omega, — assumimos todas positivas.

Passo 2

Correção da fórmula e origem física/algébrica (sem pular etapas). Primeiro, é muito provável que a fórmula correta seja
I=\frac{V}{\sqrt{R^{2}+(\,L\omega\,)^{2}}}
e não com L^{2}\cdot\omega. Vou mostrar por que.
Explicando a origem: em um circuito série com um resistor e um indutor, a impedância complexa Z é a soma
Z=R + j\,\omega L,
onde j é a unidade imaginária ( j^{2}=-1). A corrente complexa (amplificação fasorial) é dada por uma versão de Lei de Ohm:
\tilde{I}=\frac{\tilde{V}}{Z}.
O que interessa para a amplitude (valor eficaz) da corrente é o módulo de Z. O módulo de um número complexo a+jb é \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aplicando isso:
|Z|=\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}.
Portanto a amplitude da corrente é
I=\frac{V}{|Z|}=\frac{V}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}.
Observação: escrevemos (\omega L)^{2}=(L\omega)^{2}=L^{2}\omega^{2}, isto é, o quadrado se aplica ao produto \omega L.

Passo 3

Análise dimensional (por que L^{2}\cdot\omega está errado). Unidades:
[R]=\Omega,\qquad [L]=\text{H}=\frac{\Omega\cdot\text{s}}{\text{rad}},\qquad [\omega]=\text{rad/s}.
O produto \omega L tem unidade
[\omega L]=\frac{\text{rad}}{\text{s}}\cdot\frac{\Omega\cdot\text{s}}{\text{rad}}=\Omega,
ou seja, \omega L é um valor em ohms (como deve ser, porque é reatância indutiva). Mas L^{2}\cdot\omega teria unidade
[L^{2}\omega]=(\text{H})^{2}\cdot\frac{\text{rad}}{\text{s}}=\text{(unidade que NÃO é }\Omega^{2}\text{)},Ãé
portanto não pode somar com R^{2} (que é \Omega^{2}). Logo a forma correta é (\omega L)^{2} (ou L^{2}\omega^{2}).

Passo 4

Valores limites e interpretação intuitiva (passo a passo). Calculemos:
  • Em \omega=0:
I(0)=\frac{V}{\sqrt{R^{2}+(\,L\cdot 0\,)^{2}}}=\frac{V}{\sqrt{R^{2}}}=\frac{V}{R}.
Interpretação: em corrente contínua ( \omega=0) o indutor age como curto-circuito de reatância zero, então a corrente é V/R.
  • Quando \omega\to\infty:
\lim_{\omega\to\infty}I(\omega)=\lim_{\omega\to\infty}\frac{V}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}=0,
porque o termo (\omega L)^{2} domina e o denominador cresce sem limite. Interpretação: em altas frequências o indutor apresenta grande reatância, reduzindo fortemente a corrente.

Passo 5

Monotonicidade: calcule a derivada \dfrac{dI}{d\omega} passo a passo, usando regra da cadeia. Escreva
I(\omega)=V\bigl(R^{2}+(\omega L)^{2}\bigr)^{-1/2}.
Derivando em relação a \omega:
\frac{dI}{d\omega}=V\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\bigl(R^{2}+(\omega L)^{2}\bigr)^{-3/2}\cdot 2(\omega L^{2}),
onde usei que a derivada de (\omega L)^{2} em relação a \omega é 2\omega L^{2}. Simplificando os fatores 2 e -\tfrac{1}{2}:
\frac{dI}{d\omega}=-V\cdot\frac{\omega L^{2}}{\bigl(R^{2}+(\omega L)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Observações:
  • Para \omega>0, todos os termos V,\;\omega,\;L^{2},\;R^{2}+(\omega L)^{2} são positivos, logo \dfrac{dI}{d\omega}<0. Assim I(\omega) é estritamente decrescente em \omega>0.
  • A derivada também mostra a taxa de queda: para \omega pequeno a queda é quase zero (domina R^{2}), para \omega grande a queda diminui em módulo porque o denominador cresce mais rápido.

Passo 6

Freqüência onde a corrente vale metade da corrente em \omega=0. Quero \omega tal que
I(\omega)=\frac{1}{2}I(0)=\frac{1}{2}\cdot\frac{V}{R}.
Substituindo I(\omega)=\dfrac{V}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}} e cancelando V (assumindo V\neq 0):
\frac{1}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}=\frac{1}{2R}.
Inverta ambos os lados (passo importante e simples):
\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}=2R.
Eleve ao quadrado:
R^{2}+(\omega L)^{2}=4R^{2}.
Isolando (\omega L)^{2}:
(\omega L)^{2}=3R^{2}.
Tire raiz quadrada (tomando a raiz positiva para \omega\ge 0):
\omega=\frac{\sqrt{3}\,R}{L}.
Portanto a frequência para a qual a corrente cai para metade do valor DC é \omega=\dfrac{\sqrt{3}\,R}{L}.

Passo 7

Freqüência “-3 dB” (quando a corrente cai a 1/\sqrt{2} do valor em \omega=0). Essa frequência é útil porque corresponde à potência caída pela metade. Queremos \omega tal que
I(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2}}I(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{V}{R}.
Seguindo passos semelhantes:
\frac{1}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}\,R}
\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}=\sqrt{2}\,R
R^{2}+(\omega L)^{2}=2R^{2}
(\omega L)^{2}=R^{2}
\omega=\frac{R}{L}.
Logo a frequência de corte (ponto em que a corrente é 1/\sqrt{2} do valor em \omega=0) é \omega=\dfrac{R}{L}.

Passo 8

Exemplo numérico totalmente sem mistério (faça na prova igualzinho): escolha V=10\\ \text{V}, R=2\\ \Omega, L=0{,}5\\ \text{H}.
  • Corrente em \omega=0:
I(0)=\frac{10}{2}=5\\ \text{A}.
  • Frequência -3 dB:
\omega_{\text{-3dB}}=\frac{R}{L}=\frac{2}{0{,}5}=4\\ \text{rad/s}.
Corrente então:
I(4)=\frac{10}{\sqrt{2^{2}+(4\cdot 0{,}5)^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{4+4}}=\frac{10}{\sqrt{8}}=\frac{10}{2\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}\approx 3{,}535\\ \text{A}.
  • Frequência onde I fica metade:
\omega_{1/2}=\frac{\sqrt{3}\,R}{L}=\frac{1{,}732\cdot 2}{0{,}5}\approx 6{,}928\\ \text{rad/s}.
Você pode calcular esses valores à mão seguindo os passos algébricos mostrados.

Passo 9

Dicas práticas para a prova (pequenos macetes):
  • Sempre verifique unidades: \omega L tem que ter unidade de ohms; se aparecer L^{2}\omega algo está errado.
  • Para manipular \sqrt{\cdot} e resolver equações, uma boa estratégia é inverter (quando conveniente) e depois elevar ao quadrado — faça isso passo a passo para evitar sinais errados.
  • Memorize o caso padrão: série R e L Z=R+j\omega L |Z|=\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}} I=V/|Z|. A partir daí vai ser só álgebra.
  • Se pedirem taxas de variação, use a forma I=V\bigl(R^{2}+(\omega L)^{2}\bigr)^{-1/2} e aplique regra da cadeia como fiz no passo da derivada.

Resposta

\displaystyle I=\frac{V}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}} (forma correta, pois (\omega L)^{2}=L^{2}\omega^{2}).
\displaystyle I(0)=\frac{V}{R},\qquad \lim_{\omega\to\infty}I(\omega)=0.
\displaystyle \frac{dI}{d\omega}=-V\cdot\frac{\omega L^{2}}{\bigl(R^{2}+(\omega L)^{2}\bigr)^{3/2}}<0 para \omega>0 (função decrescente).
\displaystyle \omega\\ \text{para}\\ I=\tfrac{1}{2}I(0)=\frac{\sqrt{3}\,R}{L}.
\displaystyle \omega\\ \text{(-3 dB, }I=\tfrac{1}{\sqrt{2}}I(0))=\frac{R}{L}.

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