A função
é de classe
em
? (
é o maior domínio possível de
contido no
). Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para responder se
é de classe
em
, onde
é o maior domínio possível de
contido em
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: qual é o maior domínio
onde
está definida, e
é de classe
em todo esse domínio?
(A resolução começa no Passo 2.)
(A resolução começa no Passo 2.)
Passo 2
Encontrar o maior domínio
.
Para que esteja definida precisamos que o argumento seja estritamente positivo. Portanto exigimos
Para que
Assim o maior domínio possível é
Passo 3
Mostrar que
é um conjunto aberto (isso será útil para aplicar teoremas sobre diferenciabilidade).
Se , então
. Tome
. Se
satisfaz
, então por desigualdade triangular simples temos
Se
Usando que
e que
dá que para pontos suficientemente próximos a
ainda teremos
. Mais direto: escolhendo raio pequeno o suficiente garantimos
. Logo todo ponto de
tem uma bola ao seu redor contida em
, isto é,
é aberto.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
. Vou usar a regra da cadeia de forma elementar: escreva
, então
. A derivada de
em
é
. Assim, por derivação em coordenadas,
Como
(porque
é afim), obtemos
Analogamente,
Passo 5
Mostrar que as derivadas parciais existem em todo
e são contínuas em
.
As fórmulas do Passo 4 mostram que as derivadas parciais existem em cada ponto de (o denominador
é positivo aí). Cada derivada parcial é a composição de funções contínuas: a função afim
é contínua, e
é contínua para
. A composição de contínuas é contínua, logo cada
,
,
é contínua em
.
As fórmulas do Passo 4 mostram que as derivadas parciais existem em cada ponto de
Passo 6
Usar o critério que transforma existência e continuidade de derivadas parciais em classe
.
Teorema (fato padrão, que podemos usar sem prova aqui): se numa vizinhança aberta as derivadas parciais existem e são contínuas, então a função é diferenciável ali e suas derivadas parciais coincidem com os coeficientes do diferencial (ou seja, a função é de classe ). Já estabelecemos no Passo 5 que as derivadas parciais existem e são contínuas em todo
. Portanto
é diferenciável em cada ponto de
e suas derivadas parciais são contínuas em
.
Teorema (fato padrão, que podemos usar sem prova aqui): se numa vizinhança aberta as derivadas parciais existem e são contínuas, então a função é diferenciável ali e suas derivadas parciais coincidem com os coeficientes do diferencial (ou seja, a função é de classe
Passo 7
Conclusão fortalecida e exemplo numérico para intuir.
Concluímos que é de classe
em todo
. Na verdade a mesma argumentação (com
e função afim, ambas infinitamente diferenciáveis em seus domínios) mostra que
é
em
. Como exemplo concreto, em
temos
, o que bate com as fórmulas obtidas.
Concluímos que
Resposta
Sim.
e
é de classe
em
(na verdade
); as derivadas parciais são
.