Determine o erro relativo máximo (aproximado) no cálculo do período T de um pêndulo simples, através da fórmula T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}, sendo o erro relativo en l igual a 1 \% e em g igual a 3 \%.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o erro relativo máximo (aproximado) no cálculo do período T do pêndulo usando a fórmula
T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}},
sabendo que o erro relativo em l é 1\% e o erro relativo em g é 3\%.
Informações fornecidas:
\text{erro relativo em } l = 1\% = 0{,}01,
\text{erro relativo em } g = 3\% = 0{,}03.
O que queremos: uma estimativa aproximada do maior (máximo) valor possível do erro relativo em T, dado esses erros em l e g.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): para erros pequenos usamos aproximação linear (diferencial) para propagar incertezas. A noção é esta: se uma quantidade T depende de variáveis l e g, pequenas variações \Delta l e \Delta g produzem uma variação aproximada \Delta T dada pelas derivadas parciais (linearização). Em termos relativos (proporção \Delta T/T) frequentemente obtemos uma combinação simples das variações relativas \Delta l/l e \Delta g/g. Isso é válido quando os erros são pequenos (1%, 3% são pequenos), então a aproximação é boa.
Passo 3
Vamos fazer a diferenciação de forma elegante usando logaritmos (método que dá direto a variações relativas). Começamos com
T = 2\pi \, l^{1/2} \, g^{-1/2}.
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
\ln T = \ln(2\pi) + \tfrac{1}{2}\ln l - \tfrac{1}{2}\ln g.
Agora diferenciamos (variação relativa): a variação infinitesimal relativa é
Aqui \tfrac{dl}{l} e \tfrac{dg}{g} são as variações relativas (erros relativos) em l e g. A fórmula significa que, para pequenas variações, o erro relativo em T é aproximadamente metade do erro relativo em l menos metade do erro relativo em g.
pode ser positiva ou negativa dependendo dos sinais de \frac{dl}{l} e \frac{dg}{g}. Para obter o erro relativo máximo em magnitude (ou seja, o pior caso que aumenta |\Delta T/T|), consideramos que os sinais das variações se combinam para amplificar o efeito. Assim tomamos os contributos em módulo e somamos:
Converter para percentagem e interpretação final: 0{,}020 corresponde a 2\%. Portanto o erro relativo máximo aproximado no período T é 2\%.
Comentário rápido e amigável: se você ver essa questão na prova, faça a diferenciação logarítmica rápida como fizemos — é o jeito mais direto e rápido para propagar erros relativos em produtos e potências. Boa — você já ganhou pontos fáceis!