A análise de certos circuitos eletrônicos envolve a fórmula
I=\frac{V}{\sqrt{R^{2}+L^{2} \cdot \omega}}
em que I é a corrente, V a voltagem, R a resistência, L a indutância e \omega uma constante positiva. Calcule e interprete \partial I / \partial R e \partial I / \partial L.

Passo 1

O enunciado dá a função
I=\frac{V}{\sqrt{R^{2}+L^{2}\cdot\omega}}
onde I é a corrente, V a voltagem (considerada constante aqui), R a resistência, L a indutância e \omega uma constante positiva. Pede-se calcular e interpretar \partial I/\partial R e \partial I/\partial L.
Informações relevantes que vamos usar:
  • V e \omega são constantes quando tomamos cada derivada parcial.
  • A raiz no denominador pode ser escrita como potência para facilitar a diferenciação: \sqrt{R^{2}+L^{2}\omega}=(R^{2}+L^{2}\omega)^{1/2}.
  • Derivadas parciais: ao derivar em relação a R mantém-se L (e V,\omega) constantes; ao derivar em relação a L mantém-se R (e V,\omega) constantes.

Passo 2

Breve explicação do que é uma derivada parcial (sem jargão): \partial I/\partial R mede a taxa de variação instantânea de I se eu variar um pouquinho R enquanto mantenho L e as outras constantes fixas. Analogamente para \partial I/\partial L. Na prática, usamos a regra da cadeia para funções compostas: se I=V\cdot g(R,L) e g depende de uma expressão u(R,L), então diferenciamos g como função de u e multiplicamos pela derivada de u.

Passo 3

Reescrevo I numa forma que facilite aplicar a regra da cadeia:
I = V\,(R^{2}+ \omega L^{2})^{-1/2}.
Aqui a função externa é h(u)=u^{-1/2} com u(R,L)=R^{2}+\omega L^{2}.

Passo 4

Cálculo de \partial I/\partial R passo a passo usando a regra da cadeia:
  1. Derivada de h(u)=u^{-1/2} em relação a u é h'(u) = -\tfrac{1}{2}u^{-3/2}.
  2. Derivada de u(R,L)=R^{2}+\omega L^{2} em relação a R é \dfrac{\partial u}{\partial R}=2R (porque \omega L^{2} é constante ao derivar em R).
  3. Aplicando a regra da cadeia e multiplicando pelo fator V:
\frac{\partial I}{\partial R} = V\cdot h'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial R} = V\cdot\left(-\tfrac{1}{2}u^{-3/2}\right)\cdot(2R).

Passo 5

Simplificando a expressão do passo anterior:
\frac{\partial I}{\partial R} = -V \, R \, (R^{2}+\omega L^{2})^{-3/2}.
Em forma mais habitual:
\frac{\partial I}{\partial R} = -\frac{V R}{\bigl(R^{2}+\omega L^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 6

Cálculo de \partial I/\partial L passo a passo (mesma ideia, agora R fixo):
  1. h'(u) = -\tfrac{1}{2}u^{-3/2} como antes.
  2. \dfrac{\partial u}{\partial L}=\dfrac{\partial}{\partial L}(R^{2}+\omega L^{2})=2\omega L (porque R^{2} é constante ao derivar em L).
  3. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial I}{\partial L} = V\cdot\left(-\tfrac{1}{2}u^{-3/2}\right)\cdot(2\omega L).

Passo 7

Simplificando:
\frac{\partial I}{\partial L} = -V\,\omega L\, (R^{2}+\omega L^{2})^{-3/2}.
Ou:
\frac{\partial I}{\partial L} = -\frac{V\,\omega L}{\bigl(R^{2}+\omega L^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 8

Interpretação física e propriedades úteis (o que esses resultados significam na prova e na prática):
  • Sinal: ambas derivadas são negativas (porque V>0, \omega>0 e o denominador positivo). Isso significa: aumentar R reduz I; aumentar L (mantendo R fixo) também reduz I. Faz sentido físico: mais resistência ou mais efeito indutivo diminui a corrente.
  • Dependência linear no numerador: \partial I/\partial R é proporcional a R; \partial I/\partial L é proporcional a L e também a \omega. Portanto o efeito de variações pequenas é maior quando a variável que se altera já tem valor maior.
  • Casos limites simples:
    • Se R=0 então \dfrac{\partial I}{\partial R}=0. Intuição: no ponto R=0, a derivada linear inicial em R é zero porque a expressão é par em R; um pequeno aumento em R começa a afetar só na ordem linear com coeficiente nulo aqui — mas atenção: isso não quer dizer que I não mude ao aumentar muito R, apenas que a taxa linear inicial é zero.
    • Se L=0 então \dfrac{\partial I}{\partial L}=0 pelo mesmo motivo.
  • Interpretação relativa (elasticidade): é útil saber quanto, em porcentagem, muda I se R ou L mudarem um pouco. Calculando \dfrac{\partial I}{\partial R}\cdot \dfrac{R}{I} e \dfrac{\partial I}{\partial L}\cdot \dfrac{L}{I} obtém-se: \frac{\partial I}{\partial R}\cdot\frac{R}{I} = -\frac{R^{2}}{R^{2}+\omega L^{2}},\qquad \frac{\partial I}{\partial L}\cdot\frac{L}{I} = -\frac{\omega L^{2}}{R^{2}+\omega L^{2}}.Essas duas frações somam -1; elas mostram a fração da variação percentual de I atribuível a cada variável (mantendo a outra fixa).

Passo 9

Dicas para a prova (como apresentar sem erro):
  • Mostre que escreveu I=V(R^{2}+\omega L^{2})^{-1/2}.
  • Aplique a regra da cadeia: derivada externa -\tfrac{1}{2}(\cdot)^{-3/2} vezes derivada interna 2R ou 2\omega L.
  • Simplifique os fatores 2 e exponentes; escreva as respostas na forma de fração com denominador (R^{2}+\omega L^{2})^{3/2}.
  • Comente rapidamente o sinal negativo e o significado físico (isso ganha pontos extras de interpretação).

Resposta

\frac{\partial I}{\partial R}=-\frac{V\,R}{\bigl(R^{2}+\omega L^{2}\bigr)^{3/2}}
\frac{\partial I}{\partial L}=-\frac{V\,\omega L}{\bigl(R^{2}+\omega L^{2}\bigr)^{3/2}}

Exercícios relacionados