A análise de certos circuitos eletrônicos envolve a fórmula
em que
é a corrente,
a voltagem,
a resistência,
a indutância e
uma constante positiva. Calcule e interprete
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
é a corrente,
a voltagem (considerada constante aqui),
a resistência,
a indutância e
uma constante positiva. Pede-se calcular e interpretar
e
.
Informações relevantes que vamos usar:
-
e são constantes quando tomamos cada derivada parcial. - A raiz no denominador pode ser escrita como potência para facilitar a diferenciação:
. - Derivadas parciais: ao derivar em relação a
mantém-se (e ) constantes; ao derivar em relação a mantém-se (e ) constantes.
Passo 2
Breve explicação do que é uma derivada parcial (sem jargão):
mede a taxa de variação instantânea de
se eu variar um pouquinho
enquanto mantenho
e as outras constantes fixas. Analogamente para
. Na prática, usamos a regra da cadeia para funções compostas: se
e
depende de uma expressão
, então diferenciamos
como função de
e multiplicamos pela derivada de
.
Passo 3
Reescrevo
numa forma que facilite aplicar a regra da cadeia:
Aqui a função externa é
com
.
Passo 4
Cálculo de
passo a passo usando a regra da cadeia:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (porque é constante ao derivar em ). - Aplicando a regra da cadeia e multiplicando pelo fator
:
Passo 5
Simplificando a expressão do passo anterior:
Em forma mais habitual:
Passo 6
Cálculo de
passo a passo (mesma ideia, agora
fixo):
-
como antes. -
(porque é constante ao derivar em ). - Aplicando a regra da cadeia:
Passo 7
Simplificando:
Ou:
Passo 8
Interpretação física e propriedades úteis (o que esses resultados significam na prova e na prática):
- Sinal: ambas derivadas são negativas (porque
, e o denominador positivo). Isso significa: aumentar reduz ; aumentar (mantendo fixo) também reduz . Faz sentido físico: mais resistência ou mais efeito indutivo diminui a corrente. - Dependência linear no numerador:
é proporcional a ; é proporcional a e também a . Portanto o efeito de variações pequenas é maior quando a variável que se altera já tem valor maior. - Casos limites simples:
- Se
então . Intuição: no ponto , a derivada linear inicial em é zero porque a expressão é par em ; um pequeno aumento em começa a afetar só na ordem linear com coeficiente nulo aqui — mas atenção: isso não quer dizer que não mude ao aumentar muito , apenas que a taxa linear inicial é zero. - Se
então pelo mesmo motivo.
- Se
- Interpretação relativa (elasticidade): é útil saber quanto, em porcentagem, muda
se ou mudarem um pouco. Calculando e obtém-se: Essas duas frações somam ; elas mostram a fração da variação percentual de atribuível a cada variável (mantendo a outra fixa).
Passo 9
Dicas para a prova (como apresentar sem erro):
- Mostre que escreveu
. - Aplique a regra da cadeia: derivada externa
vezes derivada interna ou . - Simplifique os fatores
e exponentes; escreva as respostas na forma de fração com denominador . - Comente rapidamente o sinal negativo e o significado físico (isso ganha pontos extras de interpretação).