w=f(x, y, z)=\left(y^{2}+z^{2}\right)^{x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
w=f(x,y,z)=\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x}.
Vou assumir que o objetivo é calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial w}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial y}, \dfrac{\partial w}{\partial z}, bem como o diferencial total \mathrm{d}w e o gradiente \nabla w. Essas são as respostas mais comuns para um enunciado desse tipo.

Passo 2

Antes de derivar, precisamos pensar onde a função está bem definida e diferenciável. Defina
u(y,z)=y^{2}+z^{2}.
A expressão u é não negativa para todo (y,z). Para usar a técnica que transforma potência com expoente variável em exponencial com logaritmo (que facilita a derivação em x), é conveniente ter u>0 para que \ln u esteja bem definido. Portanto:
  • Para pontos com y^{2}+z^{2}>0 (ou seja, (y,z)\neq(0,0)) podemos escrever w como exponencial e derivar normalmente.
  • No ponto (y,z)=(0,0) há casos especiais: se x>0 então w=0; se x\le 0 a expressão é problemática. Para a prova, geralmente assume-se (y,z)\neq(0,0) ou x inteiro positivo. Vou proceder assumindo y^{2}+z^{2}>0.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial x}.
Ideia: para derivar em relação a x quando a base depende de outras variáveis, escrevemos a potência como exponencial:
w=\bigl(u(y,z)\bigr)^{x}=e^{x\ln u}.
Agora derivamos em relação a x, tratando u (ou seja, y e z) como constantes. Usamos a regra da derivada da exponencial: se W(x)=e^{g(x)} então W'(x)=e^{g(x)}g'(x). Aplicando:
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{x\ln u}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x\ln u\bigr) = e^{x\ln u}\cdot\ln u.
Voltando à notação original ( u=y^{2}+z^{2}):
\boxed{\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x}\ln\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr).}

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial y}.
Agora x é tratado como constante e w=u^{x} com u=y^{2}+z^{2}. Use a regra da cadeia: se w(u)=u^{x} com x constante, então \dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}u}=x u^{x-1}. Depois multiplica-se por \dfrac{\partial u}{\partial y}. Como
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)=2y,
temos
\frac{\partial w}{\partial y}=x\,u^{\,x-1}\cdot 2y =2x y\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{\,x-1}.
Portanto:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}=2x y\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{\,x-1}.}

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial z}.
Mesma ideia do passo anterior: \dfrac{\partial u}{\partial z}=2z. Assim
\frac{\partial w}{\partial z}=x\,u^{\,x-1}\cdot 2z =2x z\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{\,x-1}.
Logo:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}=2x z\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{\,x-1}.}

Passo 6

Gradiente e diferencial total.
O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla w=\left(\frac{\partial w}{\partial x},\;\frac{\partial w}{\partial y},\;\frac{\partial w}{\partial z}\right).
Substituindo os resultados:
\boxed{\displaystyle \nabla w=\Bigl(\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x}\ln\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr),\;2x y\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x-1},\;2x z\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x-1}\Bigr).}
O diferencial total \mathrm{d}w é
\mathrm{d}w=\frac{\partial w}{\partial x}\,\mathrm{d}x+\frac{\partial w}{\partial y}\,\mathrm{d}y+\frac{\partial w}{\partial z}\,\mathrm{d}z.
Substituindo:
\boxed{\displaystyle \mathrm{d}w=\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x}\ln\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x +2x y\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x-1}\,\mathrm{d}y +2x z\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x-1}\,\mathrm{d}z.}

Passo 7

Dica prática para a prova (curta e amigável): ao ver uma potência com expoente que é variável, reescreva como exponencial e^{x\ln(\cdot)} quando derivar em relação ao expoente; quando derivar em relação à base (aqui y ou z), trate o expoente como constante e aplique a regra da cadeia. Respirar fundo ajuda — e tomar água também. Você tá indo bem!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x}\ln\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}=2x y\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x-1}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}=2x z\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x-1}
\displaystyle \nabla w=\Bigl(\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x}\ln\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr),\;2x y\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x-1},\;2x z\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x-1}\Bigr)
\displaystyle \mathrm{d}w=\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x}\ln\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x+2x y\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x-1}\,\mathrm{d}y+2x z\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)^{x-1}\,\mathrm{d}z

Exercícios relacionados