.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
Vou assumir que o objetivo é calcular as derivadas parciais
,
,
, bem como o diferencial total
e o gradiente
. Essas são as respostas mais comuns para um enunciado desse tipo.
Passo 2
Antes de derivar, precisamos pensar onde a função está bem definida e diferenciável. Defina
A expressão
é não negativa para todo
. Para usar a técnica que transforma potência com expoente variável em exponencial com logaritmo (que facilita a derivação em
), é conveniente ter
para que
esteja bem definido. Portanto:
- Para pontos com
(ou seja, ) podemos escrever como exponencial e derivar normalmente. - No ponto
há casos especiais: se então ; se a expressão é problemática. Para a prova, geralmente assume-se ou inteiro positivo. Vou proceder assumindo .
Passo 3
Cálculo de
.
Ideia: para derivar em relação a
quando a base depende de outras variáveis, escrevemos a potência como exponencial:
Agora derivamos em relação a
, tratando
(ou seja,
e
) como constantes. Usamos a regra da derivada da exponencial: se
então
. Aplicando:
Voltando à notação original (
):
Passo 4
Cálculo de
.
Agora
é tratado como constante e
com
. Use a regra da cadeia: se
com
constante, então
. Depois multiplica-se por
. Como
temos
Portanto:
Passo 5
Cálculo de
.
Mesma ideia do passo anterior:
. Assim
Logo:
Passo 6
Gradiente e diferencial total.
O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Substituindo os resultados:
O diferencial total
é
Substituindo:
Passo 7
Dica prática para a prova (curta e amigável): ao ver uma potência com expoente que é variável, reescreva como exponencial
quando derivar em relação ao expoente; quando derivar em relação à base (aqui
ou
), trate o expoente como constante e aplique a regra da cadeia. Respirar fundo ajuda — e tomar água também. Você tá indo bem!