Resolva os problemas
y^{\prime \prime}-y=-20 \delta_{3}(t), y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial com impulso
y''-y=-20\,\delta_{3}(t)
com condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações/dados importantes:
  • A notação \delta_{3}(t) significa a delta de Dirac centrada em t=3, isto é \delta(t-3).
  • A equação é linear e homogênea para t\neq3; o termo com delta atua apenas em t=3 como um impulso.
  • Precisamos encontrar y(t) para t\ge0, levando em conta o efeito do impulso em t=3.

Passo 2

Estratégia de resolução (sem resolver ainda):
  • Para t\neq3 a equação é y''-y=0. Resolveremos essa homogênea em cada intervalo de interesse (antes e depois do impulso).
  • O impulso \delta(t-3) provoca uma descontinuidade na derivada y' em t=3, mas não em y. Vamos determinar a relação entre y'(3^+) e y'(3^-) integrando a equação no entorno de t=3. Essa condição de salto dará a condição inicial para o ramo t>3.
    (Isto evita trabalhar diretamente com transformadas; é um método direto e prático para provas.)

Passo 3

Resolver a homogênea y''-y=0.
  • Montar a equação característica: r^{2}-1=0 que tem raízes r=1 e r=-1.
  • Portanto a solução geral é
y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}.
Também é útil a forma em cosh/sinh:
y(t)=A\operatorname{cosh} t+B\operatorname{sinh} t,
onde A=\tfrac{C_{1}+C_{2}}{1} e B=\tfrac{C_{1}-C_{2}}{1}. Aqui \operatorname{cosh} t=\tfrac{e^{t}+e^{-t}}{2} e \operatorname{sinh} t=\tfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}.

Passo 4

Determinar a solução para 0\le t<3\) (antes do impulso) usando as condições iniciais em \(t=0\). Usando \(y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}\): - \(y(0)=C_{1}+C_{2}=1\). - \(y'(t)=C_{1}e^{t}-C_{2}e^{-t}\), então \(y'(0)=C_{1}-C_{2}=0\). Resolver o sistema: \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}-C_{2}=0, \end{cases}
C_{1}=C_{2}=\tfrac{1}{2}\]. Logo, para \(0\le t<3,
y(t)=\tfrac{1}{2}e^{t}+\tfrac{1}{2}e^{-t}=\operatorname{cosh} t.
(Explicação didática: as condições em t=0 fixam as constantes do ramo inicial; \operatorname{cosh} t satisfaz tanto y(0)=1 quanto y'(0)=0.)]

Passo 5

Determinar o efeito do impulso em t=3 (condição de salto na derivada).
Integramos a equação no intervalo (3-\varepsilon,3+\varepsilon) e depois fazemos \varepsilon\to0^+:
\int_{3-\varepsilon}^{3+\varepsilon}(y''-y)\,dt=\int_{3-\varepsilon}^{3+\varepsilon}-20\,\delta(t-3)\,dt.
No lado esquerdo,
\int_{3-\varepsilon}^{3+\varepsilon}y''\,dt=[y']_{3^-}^{3^+}=y'(3^+)-y'(3^-),
e \int_{3-\varepsilon}^{3+\varepsilon}y\,dt\to0 quando \varepsilon\to0 porque y é finita. No lado direito,
\int_{3-\varepsilon}^{3+\varepsilon}-20\,\delta(t-3)\,dt=-20.
Portanto a condição de salto é
y'(3^+)-y'(3^-)= -20.
Além disso, a função y é contínua em t=3 (impulso no segundo membro afeta derivada, não o valor), então
y(3^+)=y(3^-).

Passo 6

Calcular y(3^-) e y'(3^-) usando o ramo anterior y(t)=\operatorname{cosh} t.
  • y(3^-)=\operatorname{cosh} 3.
  • y'(t)=\operatorname{sinh} t para o ramo inicial, então y'(3^-)=\operatorname{sinh} 3.
    Aplicando a condição de salto:
y'(3^+)=\operatorname{sinh} 3 -20.
E a continuidade dá y(3^+)=\operatorname{cosh} 3.
Essas são as condições iniciais para o ramo t>3.

Passo 7

Determinar a solução para t>3\) (após o impulso). Para \(t>3\) a equação volta a ser homogênea \(y''-y=0\), logo a solução tem a forma \[y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}.
Usamos as condições em t=3:
\begin{cases} C_{1}e^{3}+C_{2}e^{-3}=\operatorname{cosh} 3,\\[4pt] C_{1}e^{3}-C_{2}e^{-3}=\operatorname{sinh} 3 -20 . \end{cases}
Definindo X=C_{1}e^{3}\] e \[Y=C_{2}e^{-3}, temos
\begin{cases} X+Y=\dfrac{e^{3}+e^{-3}}{2},\\[6pt] X-Y=\dfrac{e^{3}-e^{-3}}{2}-20. \end{cases}
Resolvendo:
X=\frac{(X+Y)+(X-Y)}{2}=\frac{e^{3}-20}{2},\qquad Y=\frac{(X+Y)-(X-Y)}{2}=\frac{e^{-3}+20}{2}.
Então
C_{1}=X e^{-3}=\frac{1-20e^{-3}}{2},\qquad C_{2}=Y e^{3}=\frac{1+20e^{3}}{2}.
Portanto, explicitamente para (t>3],
y(t)=\frac{1-20e^{-3}}{2}e^{t}+\frac{1+20e^{3}}{2}e^{-t}.]

Passo 8

Simplificar a expressão para t>3 em termos de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}. Subtraindo \operatorname{cosh} t=\tfrac{e^{t}+e^{-t}}{2} da expressão acima:
y(t)-\operatorname{cosh} t = \left(\frac{1-20e^{-3}}{2}-\frac{1}{2}\right)e^{t} + \left(\frac{1+20e^{3}}{2}-\frac{1}{2}\right)e^{-t}
= -10e^{-3}e^{t}+10e^{3}e^{-t} =10\big(-e^{t-3}+e^{3-t}\big) =-20\operatorname{sinh}(t-3).
Logo, para t>3,
y(t)=\operatorname{cosh} t-20\operatorname{sinh}(t-3).
Verificação rápida das condições em t=3: y(3)=\cosh3 e y'(3)=\sinh3-20, conforme exigido.

Resposta

Para 0\le t<3:
y(t)=\operatorname{cosh} t.
Para t\ge 3:
y(t)=\operatorname{cosh} t-20\,\operatorname{sinh}(t-3).

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