Resolva os problemas y^{\prime \prime}-y=-20 \delta_{3}(t), y(0)=1, y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial com impulso
y''-y=-20\,\delta_{3}(t)
com condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações/dados importantes:
A notação \delta_{3}(t) significa a delta de Dirac centrada em t=3, isto é \delta(t-3).
A equação é linear e homogênea para t\neq3; o termo com delta atua apenas em t=3 como um impulso.
Precisamos encontrar y(t) para t\ge0, levando em conta o efeito do impulso em t=3.
Passo 2
Estratégia de resolução (sem resolver ainda):
Para t\neq3 a equação é y''-y=0. Resolveremos essa homogênea em cada intervalo de interesse (antes e depois do impulso).
O impulso \delta(t-3) provoca uma descontinuidade na derivada y' em t=3, mas não em y. Vamos determinar a relação entre y'(3^+) e y'(3^-) integrando a equação no entorno de t=3. Essa condição de salto dará a condição inicial para o ramo t>3.
(Isto evita trabalhar diretamente com transformadas; é um método direto e prático para provas.)
Passo 3
Resolver a homogênea y''-y=0.
Montar a equação característica: r^{2}-1=0 que tem raízes r=1 e r=-1.
onde A=\tfrac{C_{1}+C_{2}}{1} e B=\tfrac{C_{1}-C_{2}}{1}. Aqui \operatorname{cosh} t=\tfrac{e^{t}+e^{-t}}{2} e \operatorname{sinh} t=\tfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
Passo 4
Determinar a solução para 0\le t<3\) (antes do impulso) usando as condições iniciais em \(t=0\).
Usando \(y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}\):
- \(y(0)=C_{1}+C_{2}=1\).
- \(y'(t)=C_{1}e^{t}-C_{2}e^{-t}\), então \(y'(0)=C_{1}-C_{2}=0\).
Resolver o sistema:
\[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}-C_{2}=0, \end{cases}
dá C_{1}=C_{2}=\tfrac{1}{2}\]. Logo, para \(0\le t<3,
y(t)=\tfrac{1}{2}e^{t}+\tfrac{1}{2}e^{-t}=\operatorname{cosh} t.
(Explicação didática: as condições em t=0 fixam as constantes do ramo inicial; \operatorname{cosh} t satisfaz tanto y(0)=1 quanto y'(0)=0.)]
Passo 5
Determinar o efeito do impulso em t=3 (condição de salto na derivada).
Integramos a equação no intervalo (3-\varepsilon,3+\varepsilon) e depois fazemos \varepsilon\to0^+:
Além disso, a função y é contínua em t=3 (impulso no segundo membro afeta derivada, não o valor), então
y(3^+)=y(3^-).
Passo 6
Calcular y(3^-) e y'(3^-) usando o ramo anterior y(t)=\operatorname{cosh} t.
y(3^-)=\operatorname{cosh} 3.
y'(t)=\operatorname{sinh} t para o ramo inicial, então y'(3^-)=\operatorname{sinh} 3.
Aplicando a condição de salto:
y'(3^+)=\operatorname{sinh} 3 -20.
E a continuidade dá y(3^+)=\operatorname{cosh} 3.
Essas são as condições iniciais para o ramo t>3.
Passo 7
Determinar a solução para t>3\) (após o impulso). Para \(t>3\) a equação volta a ser homogênea \(y''-y=0\), logo a solução tem a forma
\[y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}.
Portanto, explicitamente para (t>3], y(t)=\frac{1-20e^{-3}}{2}e^{t}+\frac{1+20e^{3}}{2}e^{-t}.]
Passo 8
Simplificar a expressão para t>3 em termos de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}. Subtraindo \operatorname{cosh} t=\tfrac{e^{t}+e^{-t}}{2} da expressão acima:
y(t)-\operatorname{cosh} t = \left(\frac{1-20e^{-3}}{2}-\frac{1}{2}\right)e^{t} + \left(\frac{1+20e^{3}}{2}-\frac{1}{2}\right)e^{-t}