Para a função g(x)=x+2 \cos (x) no intervalo [0,2 \pi] :
(a) Use o Teste da Derivada Primeira para encontrar os extremos locais.
(b) Determine os pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado fornece a função g(x)=x+2\cos(x) definida no intervalo [0,2\pi] e pede duas coisas:
  • (a) Usar o Teste da Derivada Primeira para encontrar os extremos locais.
  • (b) Determinar os pontos de inflexão.
Informações relevantes dadas:
g(x)=x+2\cos(x),\qquad x\in[0,2\pi].

Passo 2

Derivar a função (passo necessário para aplicar o Teste da Derivada Primeira e para estudar concavidade).
  • Regra usada: a derivada de x é 1; a derivada de \cos(x) é -\sin(x); multiplicadores constantes saem da derivada.
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2\cos(x)\bigr)=1 + 2\cdot(-\sin(x))=1-2\sin(x).
Derivando de novo para estudar concavidade:
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1-2\sin(x)\bigr)= -2\cos(x).

Passo 3

Encontrar pontos críticos (onde g'(x)=0 ou g' não existe). Aqui g' existe para todo x, logo resolvemos g'(x)=0.
1-2\sin(x)=0\quad\Rightarrow\quad \sin(x)=\tfrac{1}{2}.
As soluções gerais são x=\pi/6+2\pi k e x=5\pi/6+2\pi k. No intervalo [0,2\pi] tomamos k=0, obtendo os pontos críticos
x=\tfrac{\pi}{6}\quad\text{e}\quad x=\tfrac{5\pi}{6}.

Passo 4

Explicar o Teste da Derivada Primeira (didático): se em um ponto crítico c a derivada passa de positiva para negativa ao atravessar c, então g tem máximo local em c. Se g' passa de negativa para positiva em c, então g tem mínimo local em c. Se o sinal não muda, não há extremo local.
Vamos analisar o sinal de g'(x)=1-2\sin(x) nas regiões delimitadas pelos pontos críticos. É útil lembrar que comparar com zero equivale a comparar \sin(x) com 1/2.
Escolhemos pontos-teste em cada intervalo: x=0 (antes de \pi/6), x=\pi/4 (entre \pi/6 e 5\pi/6), e x=\pi (após 5\pi/6).
  • Para x=0: \sin(0)=0<\tfrac{1}{2} então g'(0)=1-2\cdot0=1>0. Logo g'>0 para x imediatamente à esquerda de \tfrac{\pi}{6}.
  • Para x=\pi/4: \sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0,707>\tfrac{1}{2} então g'(\pi/4)=1-2\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}<0. Logo g'<0 entre \tfrac{\pi}{6} e \tfrac{5\pi}{6}.
  • Para x=\pi: \sin(\pi)=0<\tfrac{1}{2} então g'(\pi)=1>0. Logo g'>0 para x imediatamente à direita de \tfrac{5\pi}{6}.
Portanto:
  • Em x=\tfrac{\pi}{6} a derivada muda de + para - \Rightarrow máximo local em x=\tfrac{\pi}{6}.
  • Em x=\tfrac{5\pi}{6} a derivada muda de - para + \Rightarrow mínimo local em x=\tfrac{5\pi}{6}.
Também vale checar rapidamente os extremos nos endpoints quando for útil: g'(0)=1>0 e g'(2\pi)=1>0, portanto não há extremo local nos extremos do intervalo (eles são pontos onde a função está subindo à direita/esquerda).

Passo 5

Calcular as coordenadas desses extremos (útil para a prova: apresentar o ponto completo (x,g(x))).
  • Para x=\tfrac{\pi}{6}:
g\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}+2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}+2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\pi}{6}+\sqrt{3}.
  • Para x=\tfrac{5\pi}{6}:
g\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{5\pi}{6}+2\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{5\pi}{6}+2\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\tfrac{5\pi}{6}-\sqrt{3}.

Passo 6

Definir ponto de inflexão (didático): um ponto c é ponto de inflexão se a concavidade da função muda ao passar por c. Uma maneira prática é calcular g''(x), encontrar onde g''(x)=0 ou não existe, e verificar se realmente existe mudança de sinal de g'' ao atravessar esses pontos.
Como já temos g''(x)=-2\cos(x), resolvemos
-2\cos(x)=0\quad\Rightarrow\quad \cos(x)=0.
No intervalo [0,2\pi] isso ocorre em
x=\tfrac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad x=\tfrac{3\pi}{2}.

Passo 7

Verificar mudança de concavidade nos candidatos x=\tfrac{\pi}{2} e x=\tfrac{3\pi}{2} usando o sinal de g''(x)=-2\cos(x).
  • Para 0<x<\tfrac{\pi}{2}: \cos(x)>0\Rightarrow g''(x)=-2\cos(x)<0 → concavidade para baixo.
  • Para \tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}: \cos(x)<0\Rightarrow g''(x)>0 → concavidade para cima.
  • Para \tfrac{3\pi}{2}<x<2\pi: \cos(x)>0\Rightarrow g''(x)<0 → concavidade para baixo.
Logo há mudança de sinal de g'' em x=\tfrac{\pi}{2} e em x=\tfrac{3\pi}{2}, portanto ambos são pontos de inflexão. Calculando as ordenadas:
g\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{\pi}{2}+2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{\pi}{2}+0=\tfrac{\pi}{2},
g\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=\tfrac{3\pi}{2}+2\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=\tfrac{3\pi}{2}+0=\tfrac{3\pi}{2}.

Resposta

(a) Máximo local em \left(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}+\sqrt{3}\right).
(a) Mínimo local em \left(\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}-\sqrt{3}\right).
(b) Pontos de inflexão em \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) e \left(\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right).

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