Para a função
no intervalo
:
(a) Use o Teste da Derivada Primeira para encontrar os extremos locais.
(b) Determine os pontos de inflexão.
(a) Use o Teste da Derivada Primeira para encontrar os extremos locais.
(b) Determine os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado fornece a função
definida no intervalo
e pede duas coisas:
- (a) Usar o Teste da Derivada Primeira para encontrar os extremos locais.
- (b) Determinar os pontos de inflexão.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Derivar a função (passo necessário para aplicar o Teste da Derivada Primeira e para estudar concavidade).
- Regra usada: a derivada de
é ; a derivada de é ; multiplicadores constantes saem da derivada.
Derivando de novo para estudar concavidade:
Passo 3
Encontrar pontos críticos (onde
ou
não existe). Aqui
existe para todo
, logo resolvemos
.
As soluções gerais são
e
. No intervalo
tomamos
, obtendo os pontos críticos
Passo 4
Explicar o Teste da Derivada Primeira (didático): se em um ponto crítico
a derivada passa de positiva para negativa ao atravessar
, então
tem máximo local em
. Se
passa de negativa para positiva em
, então
tem mínimo local em
. Se o sinal não muda, não há extremo local.
Vamos analisar o sinal de
nas regiões delimitadas pelos pontos críticos. É útil lembrar que comparar com zero equivale a comparar
com
.
Escolhemos pontos-teste em cada intervalo:
(antes de
),
(entre
e
), e
(após
).
- Para
: então . Logo para imediatamente à esquerda de . - Para
: então . Logo entre e . - Para
: então . Logo para imediatamente à direita de .
Portanto:
- Em
a derivada muda de para máximo local em . - Em
a derivada muda de para mínimo local em .
Também vale checar rapidamente os extremos nos endpoints quando for útil:
e
, portanto não há extremo local nos extremos do intervalo (eles são pontos onde a função está subindo à direita/esquerda).
Passo 5
Calcular as coordenadas desses extremos (útil para a prova: apresentar o ponto completo
).
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Definir ponto de inflexão (didático): um ponto
é ponto de inflexão se a concavidade da função muda ao passar por
. Uma maneira prática é calcular
, encontrar onde
ou não existe, e verificar se realmente existe mudança de sinal de
ao atravessar esses pontos.
Como já temos
, resolvemos
No intervalo
isso ocorre em
Passo 7
Verificar mudança de concavidade nos candidatos
e
usando o sinal de
.
- Para
: → concavidade para baixo. - Para
: → concavidade para cima. - Para
: → concavidade para baixo.
Logo há mudança de sinal de
em
e em
, portanto ambos são pontos de inflexão. Calculando as ordenadas:
Resposta
(a) Máximo local em
.
(a) Mínimo local em .
(b) Pontos de inflexão em e
.
(a) Mínimo local em
(b) Pontos de inflexão em