Analise a continuidade da seguinte função no ponto (0,0).
clx y^4x^4+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x,y^4x^4+y^2&se (x,y)neq(0,0)0&se (x,y)=(0,0)
é contínua em (0,0). O tópico aqui é continuidade de funções de duas variáveis e vamos usar definição de limite e desigualdades para compará-lo ao valor de f(0,0).

Passo 2

Para mostrar continuidade, precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Começamos avaliando o módulo de f(x,y). Note que sempre
x^4+y^2>= y^2,
então
|f(x,y)|=|x,y^4x^4+y^2|<=|x|,y^4y^2=|x|,y^2

Passo 3

Agora, usamos as estimativas básicas em distância euclidiana: temos
|x|<=raizx^2+y^2, y^2<= x^2+y^2
Multiplicando-as, obtemos
|f(x,y)|<=|x|,y^2<=raizx^2+y^2,(x^2+y^2)=(x^2+y^2)^3/2
Como (x^2+y^2)^3/2to0 quando (x,y)to(0,0), concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 4

Como esse limite coincide com f(0,0)=0, a função é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua no ponto (0,0).

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