Calcule as seguintes integrais indefinidas:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^2 - 3x + 5x^2 , dx. O conteúdo é integração de funções racionais e vamos precisar usar a técnica de decomposição em potências de x para aplicar a regra de potência e a de logaritmo para x^-1.

Passo 2

Simplificamos o integrando escrevendo cada termo em potência de x:
x^2 - 3x + 5x^2 = x^2x^2 - 3xx^2 + 5x^2 = 1 - 3x^-1 + 5x^-2

Passo 3

Integramos termo a termo usando integral x^n , dx = x^n+1n+1 para n neq -1 e integral x^-1 , dx = ln|x|. Assim,
integral 1 , dx = x, integral -3x^-1 , dx = -3ln|x|, integral 5x^-2 , dx = 5x^-1-1 = -5x^-1
Somando as primitivas temos x - 3ln|x| - 5x^-1.

Resposta

x - 3\ln|x| - 5x^{-1} + C

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