Analise a convergência das integrais
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(t-1)^{\frac{3}{2}}} d t

Passo 1

O enunciado pede: analisar a convergência da integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(t-1)^{\frac{3}{2}}}\,dt.
Informações relevantes dadas:
  • O intervalo de integração é [2,\infty).
  • A função integranda é f(t)=\dfrac{1}{(t-1)^{\frac{3}{2}}}.
  • Observação importante: para t\ge2 temos t-1\ge1, então f é contínua em [2,\infty). Logo a impropriedade vem apenas do limite superior infinito, não de uma descontinuidade no integrando dentro do intervalo.

Passo 2

Escolha do método: como a função é uma potência simples de t-1, podemos calcular a primitiva explicitamente e avaliar o limite quando a variável vai para infinito. Outra verificação útil (e rápida) é o teste-p: integrais do tipo \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx convergem se e somente se p>1. Vou fazer as duas coisas: primeiro a integração direta (com substituição), depois confirmo com o teste-p para consolidar a ideia.

Passo 3

Troca de variável (substituição) para simplificar a integral. Seja u=t-1. Então:
  • Quando t=2 temos u=1.
  • Quando t\to\infty temos u\to\infty.
    Também du=dt. Portanto a integral fica
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(t-1)^{\frac{3}{2}}}\,dt = \int_{1}^{\infty} u^{-\frac{3}{2}}\,du.

Passo 4

Calcular a primitiva de u^{-\frac{3}{2}}. Recordando a fórmula básica: para \alpha\neq-1,
\int u^{\alpha}\,du=\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}.
Aqui \alpha=-\tfrac{3}{2}, então \alpha+1=-\tfrac{1}{2}. Aplicando a fórmula:
\int u^{-\frac{3}{2}}\,du=\frac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\tfrac{1}{2}}=-2\,u^{-\frac{1}{2}}=-\frac{2}{\sqrt{u}}.

Passo 5

Avaliar a integral imprópria como limite de integrais propriamente ditas. Seja R>1:
\int_{1}^{R} u^{-\frac{3}{2}}\,du=\left[-\frac{2}{\sqrt{u}}\right]_{1}^{R} =-\frac{2}{\sqrt{R}}- \left(-\frac{2}{\sqrt{1}}\right) =-\frac{2}{\sqrt{R}}+2.
Agora fazemos R\to\infty. Como \displaystyle\lim_{R\to\infty}\frac{1}{\sqrt{R}}=0, obtemos
\lim_{R\to\infty}\int_{1}^{R} u^{-\frac{3}{2}}\,du = 0+2=2.
Logo a integral converge e seu valor é 2.

Passo 6

Verificação pelo teste-p (intuitiva e útil em provas): para x\ge1,
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx
converge se e só se p>1. No nosso caso a integranda é u^{-\frac{3}{2}}, ou seja p=\tfrac{3}{2}>1. Portanto a integral sobre [1,\infty) converge. Isso confirma o resultado anterior. Observação: como trocamos u=t-1 e u varia em [1,\infty), o teste-p aplica-se diretamente.

Resposta

A integral converge e seu valor é 2.

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