Analise a convergência das integrais
Passo 1
O enunciado pede: analisar a convergência da integral imprópria
Informações relevantes dadas:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
. - Observação importante: para
temos , então é contínua em . Logo a impropriedade vem apenas do limite superior infinito, não de uma descontinuidade no integrando dentro do intervalo.
Passo 2
Escolha do método: como a função é uma potência simples de
, podemos calcular a primitiva explicitamente e avaliar o limite quando a variável vai para infinito. Outra verificação útil (e rápida) é o teste-p: integrais do tipo
convergem se e somente se
. Vou fazer as duas coisas: primeiro a integração direta (com substituição), depois confirmo com o teste-p para consolidar a ideia.
Passo 3
Troca de variável (substituição) para simplificar a integral. Seja
. Então:
- Quando
temos . - Quando
temos .
Também. Portanto a integral fica
Passo 4
Calcular a primitiva de
. Recordando a fórmula básica: para
,
Aqui
, então
. Aplicando a fórmula:
Passo 5
Avaliar a integral imprópria como limite de integrais propriamente ditas. Seja
:
Agora fazemos
. Como
, obtemos
Logo a integral converge e seu valor é
.
Passo 6
Verificação pelo teste-p (intuitiva e útil em provas): para
,
converge se e só se
. No nosso caso a integranda é
, ou seja
. Portanto a integral sobre
converge. Isso confirma o resultado anterior. Observação: como trocamos
e
varia em
, o teste-p aplica-se diretamente.
Resposta
A integral converge e seu valor é
.