Questão 5. (1,0 ponto) Obtenha a solução geral da EDO abaixo, reduzindo-a a uma equação de primeira ordem:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d y}{d x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{dy}{dx}.
O que se pede: obter a solução geral da EDO, reduzindo-a a uma equação de primeira ordem. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona a segunda derivada de y com a primeira derivada de y.
  • Não há termos explícitos em y nem em x além das derivadas.
  • Espera-se uma família de soluções com duas constantes arbitrárias (por ser EDO de segunda ordem).

Passo 2

Estratégia de redução de ordem (substituição). Como a equação envolve y'' e y' apenas, é natural definir uma nova função igual à primeira derivada para transformar a EDO de segunda ordem em uma de primeira ordem. Defina
v(x)=\frac{dy}{dx}.
Aqui v é uma função de x; na prática estamos dizendo "a primeira derivada de y chame-se v". Com essa definição, a segunda derivada de y é a derivada de v em relação a x, isto é,
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{dv}{dx}.
Substituindo na EDO original obtemos uma equação de primeira ordem em v.

Passo 3

Escrever a EDO em termos de v. Substituindo as expressões do passo anterior na equação dada resulta
\frac{dv}{dx}=v.
Explanação rápida: esta é uma equação diferencial de primeira ordem para v(x). Ela diz que a taxa de variação de v é igual ao próprio v.

Passo 4

Resolver a equação de primeira ordem \frac{dv}{dx}=v. Essa equação é separável (pode-se separar as variáveis v e x). Passos da separação e integração:
\frac{dv}{dx}=v \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{v}\,dv=dx.
Agora integra-se ambos os lados. Lembrando que a integral de 1/v é \ln|v| e a integral de 1 em relação a x é x. Então
\int\frac{1}{v}\,dv=\int dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|v|=x+C_1,
onde C_1 é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos
|v|=e^{x+C_1}=e^{C_1}e^{x}.
Como e^{C_1} é uma constante positiva, podemos absorvê-la num novo parâmetro arbitrário que pode ser positivo ou negativo ao permitir o sinal; portanto escrevemos
v(x)=C\,e^{x},
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 5

Voltar à variável y. Lembrando que v(x)=\dfrac{dy}{dx}, temos agora
\frac{dy}{dx}=C e^{x}.
Esta é uma ODE de primeira ordem (na verdade uma integral direta). Integramos em x:
y(x)=\int C e^{x}\,dx = C e^{x} + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Aqui C e C_2 são constantes arbitrárias reais que representam as duas constantes esperadas para a solução geral de uma EDO de segunda ordem.

Passo 6

Renomear constantes (opcional, para forma padrão) e verificar rapidamente. É comum renomear C por C_1 e C_2 por C_2, ficando
y(x)=C_1 e^{x}+C_2.
Verificação curta: calcule y' = C_1 e^{x} e y''=C_1 e^{x}. Assim y''=y', logo a solução satisfaz a equação dada. Tudo consistente.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}

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