Questão 5. (1,0 ponto) Obtenha a solução geral da EDO abaixo, reduzindo-a a uma equação de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
O que se pede: obter a solução geral da EDO, reduzindo-a a uma equação de primeira ordem. Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona a segunda derivada de
com a primeira derivada de . - Não há termos explícitos em
nem em além das derivadas. - Espera-se uma família de soluções com duas constantes arbitrárias (por ser EDO de segunda ordem).
Passo 2
Estratégia de redução de ordem (substituição). Como a equação envolve
e
apenas, é natural definir uma nova função igual à primeira derivada para transformar a EDO de segunda ordem em uma de primeira ordem. Defina
Aqui
é uma função de
; na prática estamos dizendo "a primeira derivada de
chame-se
". Com essa definição, a segunda derivada de
é a derivada de
em relação a
, isto é,
Substituindo na EDO original obtemos uma equação de primeira ordem em
.
Passo 3
Escrever a EDO em termos de
. Substituindo as expressões do passo anterior na equação dada resulta
Explanação rápida: esta é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Ela diz que a taxa de variação de
é igual ao próprio
.
Passo 4
Resolver a equação de primeira ordem
. Essa equação é separável (pode-se separar as variáveis
e
). Passos da separação e integração:
Agora integra-se ambos os lados. Lembrando que a integral de
é
e a integral de
em relação a
é
. Então
onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos
Como
é uma constante positiva, podemos absorvê-la num novo parâmetro arbitrário que pode ser positivo ou negativo ao permitir o sinal; portanto escrevemos
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 5
Voltar à variável
. Lembrando que
, temos agora
Esta é uma ODE de primeira ordem (na verdade uma integral direta). Integramos em
:
onde
é outra constante de integração. Aqui
e
são constantes arbitrárias reais que representam as duas constantes esperadas para a solução geral de uma EDO de segunda ordem.
Passo 6
Renomear constantes (opcional, para forma padrão) e verificar rapidamente. É comum renomear
por
e
por
, ficando
Verificação curta: calcule
e
. Assim
, logo a solução satisfaz a equação dada. Tudo consistente.