Questão 3. (2,0 pontos) Resolva o PVI
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes:
- A equação relaciona a derivada de
com e . - A condição inicial é o ponto
. - Note que o denominador
anula em ; isso indica que soluções que usam divisão por não podem ser avaliadas em .
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
A equação tem a forma
A equação tem a forma
Aqui podemos separar as variáveis: colocar termos que envolvem
com
e termos que envolvem
com
. A técnica “separação de variáveis” funciona quando a equação pode ser escrita como
. Depois integra-se ambos os lados. Isso é simples e muito comum em provas, então vamos usar esse método passo a passo.
Passo 3
Separação das variáveis e integração.
Primeiro escrevemos
Primeiro escrevemos
Explicando a integral que vamos usar: a primitiva de
em relação a
é
. Assim, integrando ambos os lados:
As integrais dão
onde
é a constante de integração. Aqui usei a propriedade
.
Passo 4
Resolver para
e observação sobre soluções constantes.
A equação pode ser manipulada exponenciando ambos os lados:
A equação
Chamando
e lembrando que o sinal absoluto permite absorver um sinal em uma constante real
(que pode ser positiva, negativa ou zero), obtemos a forma geral
Observação importante (muito didática): ao dividir por
no passo de separação, descartamos a possibilidade de uma solução constante
. Essa função
é de fato solução da equação (pois substituindo dá
), e corresponde ao caso
na expressão acima. Então a família completa de soluções é
com
qualquer real (incluindo
).
Passo 5
Aplicar a condição inicial para determinar
.
A condição inicial é . Substituindo em
com
e
:
A condição inicial é
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Resolvendo para
:
Passo 6
Verificação rápida e domínio da solução.
Verificação: se então
. Calculando o lado direito:
Verificação: se
portanto a equação é satisfeita. Sobre o domínio: a solução explícita
é válida para
(porque a equação original tem
no denominador); como a condição inicial está em
, a solução construída é válida no intervalo que contém
e que não passa por
, por exemplo
.