Questão 3. (2,0 pontos) Resolva o PVI
\frac{d y}{d x}=\frac{y+1}{x+2}, \quad y(0)=5

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
\frac{dy}{dx}=\frac{y+1}{x+2},\qquad y(0)=5.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes:
  • A equação relaciona a derivada de y com x e y.
  • A condição inicial é o ponto (x,y)=(0,5).
  • Note que o denominador x+2 anula em x=-2; isso indica que soluções que usam divisão por x+2 não podem ser avaliadas em x=-2.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
A equação tem a forma
\frac{dy}{dx}=\frac{y+1}{x+2}.
Aqui podemos separar as variáveis: colocar termos que envolvem y com dy e termos que envolvem x com dx. A técnica “separação de variáveis” funciona quando a equação pode ser escrita como g(y)\,dy = h(x)\,dx. Depois integra-se ambos os lados. Isso é simples e muito comum em provas, então vamos usar esse método passo a passo.

Passo 3

Separação das variáveis e integração.
Primeiro escrevemos
\frac{dy}{dx}=\frac{y+1}{x+2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y+1}=\frac{dx}{x+2}.
Explicando a integral que vamos usar: a primitiva de \dfrac{1}{u} em relação a u é \ln|u|. Assim, integrando ambos os lados:
\int \frac{dy}{y+1}=\int \frac{dx}{x+2}.
As integrais dão
\ln|y+1|=\ln|x+2| + C,
onde C é a constante de integração. Aqui usei a propriedade \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+\text{const}.

Passo 4

Resolver para y e observação sobre soluções constantes.
A equação \ln|y+1|=\ln|x+2|+C pode ser manipulada exponenciando ambos os lados:
|y+1|=e^{C}\,|x+2|.
Chamando A=e^{C}>0 e lembrando que o sinal absoluto permite absorver um sinal em uma constante real K (que pode ser positiva, negativa ou zero), obtemos a forma geral
y+1=K(x+2),\qquad K\in\mathbb{R}.
Observação importante (muito didática): ao dividir por y+1 no passo de separação, descartamos a possibilidade de uma solução constante y\equiv -1. Essa função y(x)=-1 é de fato solução da equação (pois substituindo dá 0=0), e corresponde ao caso K=0 na expressão acima. Então a família completa de soluções é y+1=K(x+2) com K qualquer real (incluindo K=0).

Passo 5

Aplicar a condição inicial para determinar K.
A condição inicial é y(0)=5. Substituindo em y+1=K(x+2) com x=0 e y=5:
5+1 = K(0+2)\quad\Longrightarrow\quad 6 = 2K \quad\Longrightarrow\quad K=3.
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y+1=3(x+2).
Resolvendo para y:
y=3(x+2)-1=3x+6-1=3x+5.

Passo 6

Verificação rápida e domínio da solução.
Verificação: se y(x)=3x+5 então \dfrac{dy}{dx}=3. Calculando o lado direito:
\frac{y+1}{x+2}=\frac{3x+5+1}{x+2}=\frac{3x+6}{x+2}=3,
portanto a equação é satisfeita. Sobre o domínio: a solução explícita y=3x+5 é válida para x\neq -2 (porque a equação original tem x+2 no denominador); como a condição inicial está em x=0, a solução construída é válida no intervalo que contém 0 e que não passa por -2, por exemplo (-2,\infty).

Resposta

y(x)=3x+5

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