Analise a convergência das integrais
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado. O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
Informações relevantes:
- O intervalo de integração é
, ou seja, o problema é impróprio por causa do limite superior infinito. - Para
vale , portanto o integrando é positivo e bem definido em todo o intervalo de integração. - Não há singularidade interior ao intervalo (em
tem , denominador finito).
A tarefa é determinar se a integral converge ou diverge; se ela convergir, podemos também calcular seu valor.
Passo 2
Definição prática de integral imprópria e estratégia. Vou escrever a integral como limite de integrais sobre intervalos finitos:
Como o integrando é positivo, basta calcular a integral indefinida (ou a primitiva) em
e depois fazer
. Uma substituição simples resolve a primitiva: usar
.
Passo 3
Aplicando a substituição
. Explico passo a passo a substituição:
- Defina
. Então , que pode ser reescrito como . - Ao fazer a substituição no integrando temos
- As novas variáveis-limite ficam: quando
então ; quando então .
Portanto a integral sobretransforma-se em
Passo 4
Calcular a primitiva de
. Uso a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
tem
, portanto
Aplicando aos limites de
a
,
Passo 5
Fazer o limite quando
. Observando que
quando
, temos
Portanto a integral imprópria converge e o seu valor é
.
Passo 6
Interpretação e generalização didática (útil para a prova). A substituição
transformou a integral em
que é um caso do teste-p para integrais:
converge se, e somente se,
. Aqui
, então a convergência era esperada. Em geral, para integrais da forma
a mesma substituição leva a
, portanto a integral converge se, e somente se,
. Isso é um resultado útil para reconhecer rápido convergência em provas.
Resposta
Converge; valor