Analise a convergência das integrais
\int_{e}^{\infty} \frac{1}{t(\ln t)^{2}} d t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado. O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{e}^{\infty}\frac{1}{t(\ln t)^{2}}\,dt.
Informações relevantes:
  • O intervalo de integração é [e,\infty), ou seja, o problema é impróprio por causa do limite superior infinito.
  • Para t>e vale \ln t>1, portanto o integrando \dfrac{1}{t(\ln t)^{2}} é positivo e bem definido em todo o intervalo de integração.
  • Não há singularidade interior ao intervalo (em t=e tem \ln e=1, denominador finito).
    A tarefa é determinar se a integral converge ou diverge; se ela convergir, podemos também calcular seu valor.

Passo 2

Definição prática de integral imprópria e estratégia. Vou escrever a integral como limite de integrais sobre intervalos finitos:
\int_{e}^{\infty}\frac{1}{t(\ln t)^{2}}\,dt=\lim_{A\to\infty}\int_{e}^{A}\frac{1}{t(\ln t)^{2}}\,dt.
Como o integrando é positivo, basta calcular a integral indefinida (ou a primitiva) em [e,A] e depois fazer A\to\infty. Uma substituição simples resolve a primitiva: usar u=\ln t.

Passo 3

Aplicando a substituição u=\ln t. Explico passo a passo a substituição:
  • Defina u=\ln t. Então du=\dfrac{1}{t}\,dt, que pode ser reescrito como \dfrac{dt}{t}=du.
  • Ao fazer a substituição no integrando temos
\frac{1}{t(\ln t)^{2}}\,dt=\frac{1}{t\,u^{2}}\,dt=\frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{dt}{t}=\frac{1}{u^{2}}\,du.
  • As novas variáveis-limite ficam: quando t=e então u=\ln e=1; quando t=A então u=\ln A.
    Portanto a integral sobre [e,A] transforma-se em
\int_{e}^{A}\frac{1}{t(\ln t)^{2}}\,dt=\int_{1}^{\ln A}\frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Calcular a primitiva de \dfrac{1}{u^{2}}. Uso a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui u^{-2} tem n=-2, portanto
\int \frac{1}{u^{2}}\,du=\int u^{-2}\,du=\frac{u^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{u}+C.
Aplicando aos limites de 1 a \ln A,
\int_{1}^{\ln A}\frac{1}{u^{2}}\,du=\left[-\frac{1}{u}\right]_{1}^{\ln A}=-\frac{1}{\ln A}+\frac{1}{1}=1-\frac{1}{\ln A}.

Passo 5

Fazer o limite quando A\to\infty. Observando que \ln A\to\infty quando A\to\infty, temos
\lim_{A\to\infty}\left(1-\frac{1}{\ln A}\right)=1-0=1.
Portanto a integral imprópria converge e o seu valor é 1.

Passo 6

Interpretação e generalização didática (útil para a prova). A substituição u=\ln t transformou a integral em
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du,
que é um caso do teste-p para integrais: \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{u^{p}}\,du converge se, e somente se, p>1. Aqui p=2>1, então a convergência era esperada. Em geral, para integrais da forma
\int_{e}^{\infty}\frac{1}{t(\ln t)^{p}}\,dt,
a mesma substituição leva a \int_{1}^{\infty}u^{-p}\,du, portanto a integral converge se, e somente se, p>1. Isso é um resultado útil para reconhecer rápido convergência em provas.

Resposta

Converge; valor 1

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