Analise a convergência das integrais
Passo 1
Vamos identificar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações dadas. O enunciado apresenta a integral imprópria
Pergunta-se se essa integral converge (tem valor finito) ou diverge. Observações imediatas extraídas do enunciado:
- O intervalo de integração é
, logo a impropriedade vem do limite superior infinito. - No ponto
a função integranda vale , portanto não há singularidade no limite inferior. - A função integranda é
, que para é não negativa (pois em ) e cresce lentamente quando .
Passo 2
Método direto por substituição (transformação da integral). Vou usar a substituição clássica que facilita muito aqui:
defina . Então:
defina
- quando
temos ; - quando
temos ; - além disso,
, ou seja .
Aplicando essa substituição na integral temos:
Aqui a integral transformou-se em uma integral muito simples: integrar
de
a
.
Passo 3
Calcular a integral transformada e analisar o limite. A primitiva de
é
. Então, para a integral imprópria,
Como
quando
, essa integral não converge para um número finito; ela cresce sem limite.
Passo 4
Verificação alternativa por antiderivada direta (para aprender outra técnica útil na prova). Note que podemos também reconhecer imediatamente uma primitiva da função original: a derivada de
é
Assim uma primitiva é
e
Como
e
quando
, novamente a integral não é finita.
Passo 5
Teste de comparação (uma justificativa intuitiva útil em provas). Para
vale
. Assim, para
,
Sabendo que
diverge (é a integral harmônica contínua que dá
), pela comparação a integral de interesse também diverge. Esse argumento confirma a conclusão anterior por um teste de comparação simples.
Passo 6
Resumo didático final do raciocínio (para decorar e usar na prova): uma substituição
transforma a integral em
, que claramente diverge; alternativamente, reconhecer a primitiva
e tomar o limite no infinito mostra que o valor tende a infinito; ou ainda comparar com
para
. Qualquer uma dessas rotas dá a conclusão de que a integral não converge para um número finito.