Analise a convergência das integrais
\int_{1}^{\infty} \frac{\ln t}{t} d t

Passo 1

Vamos identificar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações dadas. O enunciado apresenta a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{\ln t}{t}\,dt.
Pergunta-se se essa integral converge (tem valor finito) ou diverge. Observações imediatas extraídas do enunciado:
  • O intervalo de integração é [1,\infty), logo a impropriedade vem do limite superior infinito.
  • No ponto t=1 a função integranda vale \ln 1 / 1 = 0, portanto não há singularidade no limite inferior.
  • A função integranda é \dfrac{\ln t}{t}, que para t\ge 1 é não negativa (pois \ln t\ge 0 em t\ge 1) e cresce lentamente quando t\to\infty.

Passo 2

Método direto por substituição (transformação da integral). Vou usar a substituição clássica que facilita muito aqui:
defina u=\ln t. Então:
  • quando t=1 temos u=\ln 1=0;
  • quando t\to\infty temos u\to\infty;
  • além disso, du=\dfrac{1}{t}\,dt, ou seja \dfrac{1}{t}\,dt = du.
Aplicando essa substituição na integral temos:
\int_{1}^{\infty} \frac{\ln t}{t}\,dt = \int_{u=0}^{u=\infty} u\,du.
Aqui a integral transformou-se em uma integral muito simples: integrar u de 0 a \infty.

Passo 3

Calcular a integral transformada e analisar o limite. A primitiva de u é \dfrac{u^{2}}{2}. Então, para a integral imprópria,
\int_{0}^{\infty} u\,du = \lim_{B\to\infty} \int_{0}^{B} u\,du = \lim_{B\to\infty} \left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{0}^{B} = \lim_{B\to\infty} \frac{B^{2}}{2}.
Como \dfrac{B^{2}}{2}\to\infty quando B\to\infty, essa integral não converge para um número finito; ela cresce sem limite.

Passo 4

Verificação alternativa por antiderivada direta (para aprender outra técnica útil na prova). Note que podemos também reconhecer imediatamente uma primitiva da função original: a derivada de \dfrac{(\ln t)^{2}}{2} é
\frac{d}{dt}\left(\frac{(\ln t)^{2}}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot 2\ln t\cdot\frac{1}{t} = \frac{\ln t}{t}.
Assim uma primitiva é \dfrac{(\ln t)^{2}}{2} e
\int_{1}^{\infty} \frac{\ln t}{t}\,dt = \lim_{B\to\infty} \left[\frac{(\ln t)^{2}}{2}\right]_{1}^{B} = \lim_{B\to\infty} \frac{(\ln B)^{2}}{2} - \frac{(\ln 1)^{2}}{2}.
Como \ln 1=0 e (\ln B)^{2}\to\infty quando B\to\infty, novamente a integral não é finita.

Passo 5

Teste de comparação (uma justificativa intuitiva útil em provas). Para t\ge e vale \ln t\ge 1. Assim, para t\ge e,
\frac{\ln t}{t} \ge \frac{1}{t}.
Sabendo que \int_{e}^{\infty}\dfrac{1}{t}\,dt diverge (é a integral harmônica contínua que dá \lim_{B\to\infty}\ln B = \infty), pela comparação a integral de interesse também diverge. Esse argumento confirma a conclusão anterior por um teste de comparação simples.

Passo 6

Resumo didático final do raciocínio (para decorar e usar na prova): uma substituição u=\ln t transforma a integral em \int_{0}^{\infty} u\,du, que claramente diverge; alternativamente, reconhecer a primitiva \dfrac{(\ln t)^{2}}{2} e tomar o limite no infinito mostra que o valor tende a infinito; ou ainda comparar com \dfrac{1}{t} para t\ge e. Qualquer uma dessas rotas dá a conclusão de que a integral não converge para um número finito.

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{\ln t}{t}\,dt = +\infty

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