Analise a convergência das integrais
Passo 1
O enunciado pede que eu analise a convergência da integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, é uma integral imprópria por causa do limite superior infinito.
O objetivo é decidir se essa integral converge e, se possível, calcular o seu valor.
Passo 2
Definição e forma prática de trabalhar com integrais impróprias em intervalo infinito: escreve-se a integral como um limite de integrais próprias.
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge.
Passo 3
Verificação da parte perto de
. A função
é contínua em todo o intervalo
(em particular está bem comportada em
), logo a integral
é uma integral própria e, portanto, finita. Conclusão: não há problema de convergência na vizinhança de
.
Passo 4
Verificação da cauda
. Para estudar
é conveniente usar a substituição
. Vou aplicar essa substituição passo a passo:
- Defino
. Então , ou seja . - Quando
temos . Quando temos .
Substituindo na integral obtemos
Passo 5
Avalio a integral exponencial que apareceu:
portanto
que é um número finito. Assim a parte
também converte. Como as duas partes (
e
) são finitas, a integral total converge.
Passo 6
Cálculo exato do valor da integral usando a mesma substituição aplicada ao intervalo inteiro. Faço
em
:
Passo 7
Comentários finais e observações didáticas:
- A integral é impropriamente definida apenas pelo limite superior
; perto de a função é contínua e não causa problemas. - A substituição
é uma técnica padrão quando aparece multiplicando ; sempre que houver ela transforma para uma exponencial simples . - Como
para , a convergência aqui é absoluta (na verdade a função é não negativa e integra um valor finito). - Exemplo rápido para fixar: de modo geral, para
,
Isso se obtém com a mesma substituição
.