Analise a convergência das integrais
\int_{0}^{\infty} t e^{-t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede que eu analise a convergência da integral
\int_{0}^{\infty} t e^{-t^{2}} \, d t.
Informações dadas:
  • A função integranda é t e^{-t^{2}}.
  • O intervalo de integração é [0,\infty), ou seja, é uma integral imprópria por causa do limite superior infinito.
    O objetivo é decidir se essa integral converge e, se possível, calcular o seu valor.

Passo 2

Definição e forma prática de trabalhar com integrais impróprias em intervalo infinito: escreve-se a integral como um limite de integrais próprias.
\int_{0}^{\infty} t e^{-t^{2}} \, d t = \lim_{R\to\infty} \int_{0}^{R} t e^{-t^{2}} \, d t.
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge.

Passo 3

Verificação da parte perto de 0. A função t e^{-t^{2}} é contínua em todo o intervalo [0,1] (em particular está bem comportada em t=0), logo a integral
\int_{0}^{1} t e^{-t^{2}} \, d t
é uma integral própria e, portanto, finita. Conclusão: não há problema de convergência na vizinhança de 0.

Passo 4

Verificação da cauda [1,\infty). Para estudar
\int_{1}^{\infty} t e^{-t^{2}} \, d t
é conveniente usar a substituição u=t^{2}. Vou aplicar essa substituição passo a passo:
  • Defino u=t^{2}. Então du = 2t\,dt, ou seja t\,dt = \dfrac{du}{2}.
  • Quando t=1 temos u=1. Quando t\to\infty temos u\to\infty.
    Substituindo na integral obtemos
\int_{1}^{\infty} t e^{-t^{2}} \, d t = \int_{u=1}^{u=\infty} e^{-u}\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{\infty} e^{-u} \, du.

Passo 5

Avalio a integral exponencial que apareceu:
\int_{1}^{\infty} e^{-u} \, du = \left[-e^{-u}\right]_{1}^{\infty} = 0 - (-e^{-1}) = e^{-1},
portanto
\int_{1}^{\infty} t e^{-t^{2}} \, d t = \frac{1}{2} e^{-1},
que é um número finito. Assim a parte [1,\infty) também converte. Como as duas partes ( [0,1] e [1,\infty)) são finitas, a integral total converge.

Passo 6

Cálculo exato do valor da integral usando a mesma substituição aplicada ao intervalo inteiro. Faço u=t^{2} em [0,\infty):
\int_{0}^{\infty} t e^{-t^{2}} \, d t = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-u} \, du = \frac{1}{2}\left[-e^{-u}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2}\bigl(0 - (-1)\bigr) = \frac{1}{2}.

Passo 7

Comentários finais e observações didáticas:
  • A integral é impropriamente definida apenas pelo limite superior +\infty; perto de 0 a função é contínua e não causa problemas.
  • A substituição u=t^{2} é uma técnica padrão quando aparece t multiplicando e^{-t^{2}}; sempre que houver t\,e^{-t^{2}} ela transforma para uma exponencial simples e^{-u}.
  • Como t e^{-t^{2}}\ge0 para t\ge0, a convergência aqui é absoluta (na verdade a função é não negativa e integra um valor finito).
  • Exemplo rápido para fixar: de modo geral, para a>0,
\int_{0}^{\infty} t e^{-a t^{2}} \, dt = \frac{1}{2a}.
Isso se obtém com a mesma substituição u=a t^{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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