Analise a convergência da série
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série de funções
O conteúdo principal é séries de potências, e vamos usar o teste da raiz para determinar o raio de convergência e depois checar os pontos extremos.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz, que diz: se
então a série converge se
e diverge se
. Calculamos
Como
quando
, temos
Passo 3
Da condição
vem
Então o raio de convergência é
, e a série converge absolutamente para todo
com
e diverge se
.
Passo 4
Agora checamos os extremos:
- Em
, a série vira
que é a série
- com
. Logo converge.
- Em
, a série vira
que também converge absolutamente (pois
converge). Portanto converge.
Resposta
A série converge absolutamente para todo
tal que
e diverge se
.