Analise a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 x)^{n}}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de funções
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3x)^{n}}{n^{2}}.
O conteúdo principal é séries de potências, e vamos usar o teste da raiz para determinar o raio de convergência e depois checar os pontos extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, que diz: se
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|\frac{(3x)^n}{n^2}\right|},
então a série converge se L<1 e diverge se L>1. Calculamos
\sqrt[n]{\left|\frac{(3x)^n}{n^2}\right|} = \frac{|3x|}{\sqrt[n]{n^2}} = |3x|\;n^{-2/n}.
Como n^{-2/n}\to1 quando n\to\infty, temos
L = |3x|.

Passo 3

Da condição L<1 vem
|3x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\tfrac13.
Então o raio de convergência é R=\tfrac13, e a série converge absolutamente para todo x com |x|<\tfrac13 e diverge se |x|>\tfrac13.

Passo 4

Agora checamos os extremos:
  1. Em x = \tfrac13, a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3\cdot\tfrac13)^n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2},
que é a série p- com p=2>1. Logo converge.
  1. Em x = -\tfrac13, a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3\cdot(-\tfrac13))^n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2},
que também converge absolutamente (pois \sum1/n^2 converge). Portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente para todo x tal que
|x|\le \tfrac13,
e diverge se |x|>\tfrac13.

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