Encontre a série de Maclaurin de e^{x} até o termo de grau 5.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (série de Taylor em torno de 0) da função
f(x)=e^{x}
até o termo de grau 5. Para isso, vamos usar a fórmula geral da série de Maclaurin e calcular as derivadas de f em 0.

Passo 2

A forma geral da série de Maclaurin de uma função f é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n.
Se quisermos até o grau 5, truncamos a soma em n=5:
f(x)\approx\sum_{n=0}^{5}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n.

Passo 3

Para f(x)=e^{x}, todas as derivadas são iguais a e^{x}, isto é,
f^{(n)}(x)=e^{x}\quad\text{para todo }n\ge0.
Em particular, em x=0 temos
f^{(n)}(0)=e^{0}=1.

Passo 4

Substituindo f^{(n)}(0)=1 na fórmula truncada, obtemos
e^{x}\approx\sum_{n=0}^{5}\frac{1}{n!}\,x^n =1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}.

Passo 5

Escrevendo os fatoriais:\
e^{x}\approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120}.

Resposta

e^{x}=1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots
(neste caso, mantendo apenas até o termo de grau 5).

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