Analise a convergência das séries abaixo, utilizando o teste indicado em cada item.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n+1}{n^{3}+5}. (Teste da Comparação)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n+1}{n^{3}+5}
e pede que eu analise a convergência usando o Teste da Comparação. Informações relevantes fornecidas:
a_n=\frac{3n+1}{n^{3}+5},
os termos são positivos para todo n\ge 1 (pois numerador e denominador são positivos). A tarefa é decidir se a soma dos a_n converge ou diverge, usando comparação com outra série conhecida.

Passo 2

Primeiro, vou lembrar o que é o Teste da Comparação (direto), de forma simples e útil para a prova: se temos duas sequências de termos não negativos a_n e b_n tais que 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e a série \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Do mesmo modo, se a_n\ge b_n\ge0 e \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge. Vou usar a primeira parte.
Qual série escolher como comparação? Observando o comportamento para grandes n, o numerador cresce como 3n e o denominador como n^3, então a_n tem ordem de grandeza parecida com 3/n^2. Uma escolha natural é comparar com uma série do tipo \sum \frac{C}{n^2}, porque séries da forma \sum \frac{1}{n^p} (séries-p) convergem se p>1. Em particular, \sum \frac{1}{n^2} converge.

Passo 3

Agora faço desigualdades precisas para aplicar o teste. Para todo n\ge 1 vale
n^{3}+5 \ge n^{3},
portanto
\frac{3n+1}{n^{3}+5} \le \frac{3n+1}{n^{3}}.
Escrevo o lado direito separando os termos:
\frac{3n+1}{n^{3}}=\frac{3n}{n^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=\frac{3}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}.
Para n\ge 1 temos \frac{1}{n^{3}}\le \frac{1}{n^{2}}. Usando isso obtenho
\frac{3}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}\le \frac{3}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}=\frac{4}{n^{2}}.
Combinando com a desigualdade do passo anterior, para todo n\ge 1 temos
0\le \frac{3n+1}{n^{3}+5}\le \frac{4}{n^{2}}.

Passo 4

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^{2}} é simplesmente 4 vezes a série-p \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}. Como a série-p com p=2 converge (pois 2>1), segue que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^{2}} converge. Aplicando o Teste da Comparação direto (já que 0\le a_n\le 4/n^{2} para todo n), concluo que a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+1}{n^{3}+5} também converge.
Comentário final breve (útil para a prova): como todos os termos são positivos, não há distinção entre convergência e convergência absoluta aqui — a convergência obtida é a usual. Na prática, na hora da prova é suficiente mostrar a desigualdade até uma constante vezes 1/n^{2} e citar que a série-p com p=2 converge.

Resposta

A série converge (convergente por comparação com \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^{2}}).

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