Analise a convergência das séries abaixo, utilizando o teste indicado em cada item.
. (Teste da Comparação)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que eu analise a convergência usando o Teste da Comparação. Informações relevantes fornecidas:
os termos são positivos para todo
(pois numerador e denominador são positivos). A tarefa é decidir se a soma dos
converge ou diverge, usando comparação com outra série conhecida.
Passo 2
Primeiro, vou lembrar o que é o Teste da Comparação (direto), de forma simples e útil para a prova: se temos duas sequências de termos não negativos
e
tais que
para todo
suficientemente grande e a série
converge, então
também converge. Do mesmo modo, se
e
diverge, então
diverge. Vou usar a primeira parte.
Qual série escolher como comparação? Observando o comportamento para grandes
, o numerador cresce como
e o denominador como
, então
tem ordem de grandeza parecida com
. Uma escolha natural é comparar com uma série do tipo
, porque séries da forma
(séries-p) convergem se
. Em particular,
converge.
Passo 3
Agora faço desigualdades precisas para aplicar o teste. Para todo
vale
portanto
Escrevo o lado direito separando os termos:
Para
temos
. Usando isso obtenho
Combinando com a desigualdade do passo anterior, para todo
temos
Passo 4
A série
é simplesmente
vezes a série-p
. Como a série-p com
converge (pois
), segue que
converge. Aplicando o Teste da Comparação direto (já que
para todo
), concluo que a série
também converge.
Comentário final breve (útil para a prova): como todos os termos são positivos, não há distinção entre convergência e convergência absoluta aqui — a convergência obtida é a usual. Na prática, na hora da prova é suficiente mostrar a desigualdade até uma constante vezes
e citar que a série-p com
converge.
Resposta
A série converge (convergente por comparação com
).