Analise a convergência das séries abaixo, utilizando o teste indicado em cada item.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln (n+1)}{n}. (Série Alternada)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln(n+1)}{n}
e pede para analisar sua convergência usando o teste indicado: “Série Alternada”.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O termo geral é a_n = (-1)^n \dfrac{\ln(n+1)}{n}.
  • A parte positiva associada à alternância é b_n=\dfrac{\ln(n+1)}{n}.
  • Queremos verificar as condições do teste de séries alternadas (Leibniz) para concluir se a série converge ou não.

Passo 2

Vou explicar o teste de séries alternadas (teste de Leibniz) de forma bem didática: ele diz que a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n
converge se as três condições seguintes forem satisfeitas:
  1. Os termos b_n são não negativos: b_n\ge 0 para todo n.
  2. A sequência (b_n) é monotonicamente decrescente a partir de algum n (ou seja, b_{n+1}\le b_n para n grande).
  3. \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Explicação breve do porquê: a alternância e a queda dos módulos faz com que as somas parciais oscilem dentro de um intervalo cada vez menor; se os módulos vão a zero, essas oscilações tendem a um limite. Por isso precisamos verificar as três condições acima.

Passo 3

Primeiro verificação fácil: positividade de b_n.
Definimos
b_n=\frac{\ln(n+1)}{n}.
Para todo n\ge 1 tem-se n+1\ge 2 e, portanto, \ln(n+1)>0. Como n>0, concluímos que b_n>0 para todo n. Logo a condição (1) do teste de Leibniz está satisfeita.

Passo 4

Agora verificamos a condição de monotonicidade: queremos mostrar que b_n é decrescente (pelo menos a partir de n=1). Uma maneira limpa é estudar a função contínua que estende b_n:
f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x},\qquad x>0.
Se f for decrescente para x\ge 1, então a sequência (b_n=f(n)) será decrescente a partir de n=1.
Calculamos a derivada de f. Usando a regra do quociente,
f'(x)=\frac{\frac{1}{x+1}\cdot x - \ln(x+1)\cdot 1}{x^2} = \frac{\dfrac{x}{x+1}-\ln(x+1)}{x^2}.
O denominador x^2 é positivo para x>0, então o sinal de f'(x) é o sinal do numerador
g(x)=\frac{x}{x+1}-\ln(x+1).
Para mostrar que g(x)<0 para x>0 (o que garante f'(x)<0), considere a função
h(t)=\ln(1+t)-\frac{t}{1+t},\qquad t>0.
Calculamos h'(t):
h'(t)=\frac{1}{1+t}-\frac{(1+t)-t}{(1+t)^2}=\frac{1}{1+t}-\frac{1}{(1+t)^2}=\frac{t}{(1+t)^2}\ge 0.
Como h'(t)\ge 0, a função h é crescente em t>0. Além disso h(0)=0. Portanto h(t)>0 para todo t>0, isto é
\ln(1+t)>\frac{t}{1+t}\quad\text{para todo }t>0.
Tomando t=x obtemos \ln(x+1)>\dfrac{x}{x+1}, isto é g(x)<0 para x>0. Logo f'(x)<0 para x>0, e em particular f é decrescente em [1,\infty). Portanto a sequência (b_n) é decrescente a partir de n=1. Assim a condição (2) do teste de Leibniz também está satisfeita.
(Dica numérica rápida para intuir: para n=1, b_1=\ln 2\approx0,693; para n=2, b_2=\ln 3/2\approx0,549; já dá para ver que está caindo.)

Passo 5

Verificação da condição limite: precisamos mostrar que
\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{n}=0.
Uma forma padrão é passar ao contínuo e usar L’Hôpital. Considere
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x+1)}{x}.
É uma forma \infty/\infty, então aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x+1)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{1}{x+1}}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x+1}=0.
Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n =0. Assim a condição (3) do teste de Leibniz é satisfeita.

Passo 6

Como verificamos as três condições do teste de séries alternadas (positividade dos módulos, decrescimento e limite zero), concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln(n+1)}{n}
converge. Até aqui usamos exatamente o teste indicado (Leibniz).

Passo 7

Agora, para saber se a convergência é absoluta ou apenas condicional, analisamos a série das magnitudes:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^n \frac{\ln(n+1)}{n}\right| =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n+1)}{n}.
Mostramos que essa série de termos positivos diverge. Uma maneira direta é aplicar o teste integral: a função x\mapsto \dfrac{\ln(x+1)}{x} é positiva e decrescente para x\ge 1, então a série e a integral têm o mesmo comportamento. Calcule a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx.
Sabemos que uma primitiva é \dfrac{(\ln x)^2}{2}, logo
\int_{2}^{T}\frac{\ln x}{x}\,dx=\frac{(\ln T)^2}{2}-\frac{(\ln 2)^2}{2}\xrightarrow[T\to\infty]{}\infty.
Portanto \sum \dfrac{\ln n}{n} diverge, e como \dfrac{\ln(n+1)}{n} tem o mesmo comportamento assintótico que \dfrac{\ln n}{n} (diferença irrelevante para divergência), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n+1)}{n}
também diverge. Assim a série não converge absolutamente.

Passo 8

Conclusão final, juntando tudo com um toque de incentivo: a série dada satisfaz as hipóteses do teste de Leibniz, logo converge; porém a série dos módulos diverge, então a convergência é condicional — ou seja, ela converge, mas não converge absolutamente. Boa! Você chegou à conclusão que interessa para a prova.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo teste de séries alternadas, mas não é absolutamente convergente).

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