Analise a convergência das séries abaixo, utilizando o teste indicado em cada item. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln (n+1)}{n}. (Série Alternada)
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln(n+1)}{n}
e pede para analisar sua convergência usando o teste indicado: “Série Alternada”.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
O termo geral é a_n = (-1)^n \dfrac{\ln(n+1)}{n}.
A parte positiva associada à alternância é b_n=\dfrac{\ln(n+1)}{n}.
Queremos verificar as condições do teste de séries alternadas (Leibniz) para concluir se a série converge ou não.
Passo 2
Vou explicar o teste de séries alternadas (teste de Leibniz) de forma bem didática: ele diz que a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n
converge se as três condições seguintes forem satisfeitas:
Os termos b_n são não negativos: b_n\ge 0 para todo n.
A sequência (b_n) é monotonicamente decrescente a partir de algum n (ou seja, b_{n+1}\le b_n para n grande).
\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Explicação breve do porquê: a alternância e a queda dos módulos faz com que as somas parciais oscilem dentro de um intervalo cada vez menor; se os módulos vão a zero, essas oscilações tendem a um limite. Por isso precisamos verificar as três condições acima.
Passo 3
Primeiro verificação fácil: positividade de b_n.
Definimos
b_n=\frac{\ln(n+1)}{n}.
Para todo n\ge 1 tem-se n+1\ge 2 e, portanto, \ln(n+1)>0. Como n>0, concluímos que b_n>0 para todo n. Logo a condição (1) do teste de Leibniz está satisfeita.
Passo 4
Agora verificamos a condição de monotonicidade: queremos mostrar que b_n é decrescente (pelo menos a partir de n=1). Uma maneira limpa é estudar a função contínua que estende b_n:
f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x},\qquad x>0.
Se f for decrescente para x\ge 1, então a sequência (b_n=f(n)) será decrescente a partir de n=1.
Calculamos a derivada de f. Usando a regra do quociente,
f'(x)=\frac{\frac{1}{x+1}\cdot x - \ln(x+1)\cdot 1}{x^2} = \frac{\dfrac{x}{x+1}-\ln(x+1)}{x^2}.
O denominador x^2 é positivo para x>0, então o sinal de f'(x) é o sinal do numerador
g(x)=\frac{x}{x+1}-\ln(x+1).
Para mostrar que g(x)<0 para x>0 (o que garante f'(x)<0), considere a função
Como h'(t)\ge 0, a função h é crescente em t>0. Além disso h(0)=0. Portanto h(t)>0 para todo t>0, isto é
\ln(1+t)>\frac{t}{1+t}\quad\text{para todo }t>0.
Tomando t=x obtemos \ln(x+1)>\dfrac{x}{x+1}, isto é g(x)<0 para x>0. Logo f'(x)<0 para x>0, e em particular f é decrescente em [1,\infty). Portanto a sequência (b_n) é decrescente a partir de n=1. Assim a condição (2) do teste de Leibniz também está satisfeita.
(Dica numérica rápida para intuir: para n=1, b_1=\ln 2\approx0,693; para n=2, b_2=\ln 3/2\approx0,549; já dá para ver que está caindo.)
Passo 5
Verificação da condição limite: precisamos mostrar que
Mostramos que essa série de termos positivos diverge. Uma maneira direta é aplicar o teste integral: a função x\mapsto \dfrac{\ln(x+1)}{x} é positiva e decrescente para x\ge 1, então a série e a integral têm o mesmo comportamento. Calcule a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx.
Sabemos que uma primitiva é \dfrac{(\ln x)^2}{2}, logo
Portanto \sum \dfrac{\ln n}{n} diverge, e como \dfrac{\ln(n+1)}{n} tem o mesmo comportamento assintótico que \dfrac{\ln n}{n} (diferença irrelevante para divergência), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n+1)}{n}
também diverge. Assim a série não converge absolutamente.
Passo 8
Conclusão final, juntando tudo com um toque de incentivo: a série dada satisfaz as hipóteses do teste de Leibniz, logo converge; porém a série dos módulos diverge, então a convergência é condicional — ou seja, ela converge, mas não converge absolutamente. Boa! Você chegou à conclusão que interessa para a prova.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo teste de séries alternadas, mas não é absolutamente convergente).