Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Para
, determine:
-
-
Para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente calcule as derivadas parciais de primeira ordem
e
e as derivadas parciais de segunda ordem
,
e
.
As informações relevantes são portanto apenas a expressão de e a lista de derivadas que devemos achar.
As informações relevantes são portanto apenas a expressão de
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos lembrar (de forma bem direta) as regras que vamos usar:
- Derivada parcial em relação a
: derivamos em tratando como constante. Analogamente para derivada parcial em relação a . - Regra do produto: se temos
então
- Regra da cadeia para exponencial: se
então
No nosso caso
, então
e
.
Vou aplicar essas regras passo a passo, sem pular etapas.
Passo 3
Calcular
.
Temos
. Aplicando a regra do produto com
e
:
Portanto
Podemos fatorar
:
Outra forma equivalente, por fator comum
, é
Passo 4
Calcular
.
Aqui
é constante em relação a
. Então
Logo
Passo 5
Calcular
(segunda parcial em
).
Usamos a expressão obtida para
,
Derivamos essa expressão em relação a
. Aplicando a regra do produto (ou fazendo separadamente como abaixo):
Primeiro, diferencie
(dá
) e multiplique por
:
Segundo, mantenha
e derive
em
:
então
Somando A e B:
Passo 6
Calcular
(segunda parcial em
).
Usamos
. Derivando em relação a
,
é constante:
Logo
Passo 7
Calcular
(mista). Vou mostrar de duas maneiras rápidas para confirmar que dá o mesmo (Clairaut).
Método 1 — derivar
em relação a
. Partimos de
Derivando em
: derivada de
é
, e derivada de
em
é
. Então
Agrupando termos:
Fatorando
:
Método 2 — derivar
em relação a
. Partimos de
Derivando em
: derivada de
é
, e derivada de
é
. Aplicando produto:
que coincide com o
obtido antes, como devia acontecer.
Passo 8
Resumo rápido do que fizemos (pra você levar pra prova):
- Use produto sempre que tiver um fator que depende de
multiplicando outro que também depende. - Para
, lembrar que derivar em puxa um e em puxa um . - Misturar as regras dá expressões que normalmente podem ser fatoradas por
(isso facilita leitura e cálculos).
Vai dar tudo certo na prova — respira, revisa esses passos devagar e pratica mais um exercício parecido que você tira na hora!