Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Para q(x, y)=x^{2} e^{x y}, determine:
  • q_{x} ; q_{y}
  • q_{x x} ; q_{y y} ; q_{x y}

Passo 1

O enunciado dá a função
q(x,y)=x^{2}e^{x y}
e pede que a gente calcule as derivadas parciais de primeira ordem q_{x} e q_{y} e as derivadas parciais de segunda ordem q_{x x}, q_{y y} e q_{x y}.
As informações relevantes são portanto apenas a expressão de q(x,y) e a lista de derivadas que devemos achar.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos lembrar (de forma bem direta) as regras que vamos usar:
  • Derivada parcial em relação a x: derivamos em x tratando y como constante. Analogamente para derivada parcial em relação a y.
  • Regra do produto: se temos u(x,y)\cdot v(x,y) então
\frac{\partial}{\partial x}(u v)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
  • Regra da cadeia para exponencial: se w(x,y)=e^{g(x,y)} então
\frac{\partial w}{\partial x}=e^{g(x,y)}\frac{\partial g}{\partial x}.
No nosso caso g(x,y)=x y, então \frac{\partial}{\partial x}(e^{x y})=y e^{x y} e \frac{\partial}{\partial y}(e^{x y})=x e^{x y}.
Vou aplicar essas regras passo a passo, sem pular etapas.

Passo 3

Calcular q_{x}.
Temos q(x,y)=x^{2}\cdot e^{x y}. Aplicando a regra do produto com u(x,y)=x^{2} e v(x,y)=e^{x y}:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial v}{\partial x}=y e^{x y}.
Portanto
q_{x}=2x\;e^{x y}+x^{2}\;(y e^{x y}).
Podemos fatorar e^{x y}:
q_{x}=e^{x y}\bigl(2x+x^{2}y\bigr).
Outra forma equivalente, por fator comum x, é
q_{x}=x e^{x y}\bigl(2+ x y\bigr).

Passo 4

Calcular q_{y}.
Aqui x^{2} é constante em relação a y. Então
q_{y}=x^{2}\;\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x y}\bigr)=x^{2}\;(x e^{x y}).
Logo
q_{y}=x^{3}e^{x y}.

Passo 5

Calcular q_{x x} (segunda parcial em x).
Usamos a expressão obtida para q_{x},
q_{x}=e^{x y}\bigl(2x+x^{2}y\bigr).
Derivamos essa expressão em relação a x. Aplicando a regra do produto (ou fazendo separadamente como abaixo):
Primeiro, diferencie e^{x y} (dá y e^{x y}) e multiplique por (2x+x^{2}y):
\text{parte A} = y e^{x y}\bigl(2x+x^{2}y\bigr)=e^{x y}\bigl(2x y + x^{2}y^{2}\bigr).
Segundo, mantenha e^{x y} e derive (2x+x^{2}y) em x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x+x^{2}y\bigr)=2+2x y,
então
\text{parte B} = e^{x y}\bigl(2+2x y\bigr).
Somando A e B:
q_{x x}=e^{x y}\bigl(2x y + x^{2}y^{2}+2+2x y\bigr) = e^{x y}\bigl(2 + 4x y + x^{2}y^{2}\bigr).

Passo 6

Calcular q_{y y} (segunda parcial em y).
Usamos q_{y}=x^{3}e^{x y}. Derivando em relação a y, x^{3} é constante:
q_{y y}=x^{3}\;\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x y}\bigr)=x^{3}\;(x e^{x y}).
Logo
q_{y y}=x^{4}e^{x y}.

Passo 7

Calcular q_{x y} (mista). Vou mostrar de duas maneiras rápidas para confirmar que dá o mesmo (Clairaut).
Método 1 — derivar q_{x} em relação a y. Partimos de
q_{x}=e^{x y}\bigl(2x+x^{2}y\bigr).
Derivando em y: derivada de e^{x y} é x e^{x y}, e derivada de (2x+x^{2}y) em y é x^{2}. Então
q_{x y}=x e^{x y}\bigl(2x+x^{2}y\bigr) + e^{x y}\bigl(x^{2}\bigr).
Agrupando termos:
q_{x y}=e^{x y}\bigl(2x^{2}+x^{3}y+x^{2}\bigr)=e^{x y}\bigl(3x^{2}+x^{3}y\bigr).
Fatorando x^{2}e^{x y}:
q_{x y}=x^{2}e^{x y}\bigl(3+ x y\bigr).
Método 2 — derivar q_{y} em relação a x. Partimos de
q_{y}=x^{3}e^{x y}.
Derivando em x: derivada de x^{3} é 3x^{2}, e derivada de e^{x y} é y e^{x y}. Aplicando produto:
q_{y x}=3x^{2}e^{x y}+x^{3}y e^{x y}=e^{x y}\bigl(3x^{2}+x^{3}y\bigr),
que coincide com o q_{x y} obtido antes, como devia acontecer.

Passo 8

Resumo rápido do que fizemos (pra você levar pra prova):
  • Use produto sempre que tiver um fator que depende de x multiplicando outro que também depende.
  • Para e^{x y}, lembrar que derivar em x puxa um y e em y puxa um x.
  • Misturar as regras dá expressões que normalmente podem ser fatoradas por e^{x y} (isso facilita leitura e cálculos).
Vai dar tudo certo na prova — respira, revisa esses passos devagar e pratica mais um exercício parecido que você tira na hora!

Resposta

q_{x}=e^{x y}\bigl(2x+x^{2}y\bigr)
q_{y}=x^{3}e^{x y}
q_{x x}=e^{x y}\bigl(2+4x y+x^{2}y^{2}\bigr)
q_{y y}=x^{4}e^{x y}
q_{x y}=e^{x y}\bigl(3x^{2}+x^{3}y\bigr)

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