Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
(j) lim x -1^+ raiz|x|+raizx^2-1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
lim x -1^+ raiz|x|+raizx^2-1
Aqui, estamos lidando com funções de valor absoluto e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de $ x = -1 $ e verificar se os valores dentro das raízes são reais (ou seja, não negativos).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
|x| + raizx^2 - 1
Aqui, temos duas partes:
  1. $ |x| $: O valor absoluto de $ x $, que sempre resulta em um número positivo ou zero.
  2. $ \sqrt{x^{2} - 1} $: A raiz quadrada de $ x^{2} - 1 $.

Passo 3

Vamos verificar o que acontece com cada parte quando $ x $ se aproxima de x pela direita ($ x \rightarrow -1^{+} $):
  1. Valor Absoluto $ |x| $:
    • Quando $ x $ está perto de -1, $ |x| $ é igual a 1, pois o valor absoluto de x -1^+ é 1.
  2. Raiz Quadrada $ \sqrt{x^{2} - 1} $:
    • Calculando $ x^{2} - 1 $ quando $ x = -1 $: |x|
    • Então, quando $ x $ se aproxima de x , $ x^{2} - 1 $ se aproxima de 0.

Passo 4

Agora, precisamos considerar o domínio da função $ \sqrt{x^{2} - 1} $. Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
raizx^2 - 1
Como estamos calculando o limite quando $ x $ se aproxima de x^2 - 1 >= 0 implies |x| >= 1 implies x <= -1 ou x >= 1 pela direita ($ x \rightarrow -1^{+} $), $ x $ está um pouco maior que x (por exemplo, -1). No entanto, para esses valores, $ |x| < 1 $, o que faz com que $ x^{2} - 1 < 0 $.

Passo 5

Como $ x^{2} - 1 $ é negativo quando $ x $ se aproxima de x^2 - 1 pela direita, a expressão $ \sqrt{x^{2} - 1} $ não é um número real nesse caso. Portanto, a função dentro da raiz quadrada original:
x
não está bem definida para $ x $ se aproximando de -1 pela direita, pois envolve a raiz de um número negativo.

Resposta

O limite não existe no conjunto dos números reais porque a expressão dentro da raiz quadrada se torna negativa quando $ x $ se aproxima de x pela direita.

Exercícios relacionados