Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
(j)
(j)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com funções de valor absoluto e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de $ x = -1 $ e verificar se os valores dentro das raízes são reais (ou seja, não negativos).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
Aqui, temos duas partes:
- $ |x| $: O valor absoluto de $ x $, que sempre resulta em um número positivo ou zero.
- $ \sqrt{x^{2} - 1} $: A raiz quadrada de $ x^{2} - 1 $.
Passo 3
Vamos verificar o que acontece com cada parte quando $ x $ se aproxima de
pela direita ($ x \rightarrow -1^{+} $):
-
Valor Absoluto $ |x| $:
- Quando $ x $ está perto de
, $ |x| $ é igual a 1, pois o valor absoluto de é 1.
- Quando $ x $ está perto de
-
Raiz Quadrada $ \sqrt{x^{2} - 1} $:
- Calculando $ x^{2} - 1 $ quando $ x = -1 $:
- Então, quando $ x $ se aproxima de
, $ x^{2} - 1 $ se aproxima de 0.
- Calculando $ x^{2} - 1 $ quando $ x = -1 $:
Passo 4
Agora, precisamos considerar o domínio da função $ \sqrt{x^{2} - 1} $. Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
Como estamos calculando o limite quando $ x $ se aproxima de
pela direita ($ x \rightarrow -1^{+} $), $ x $ está um pouco maior que
(por exemplo,
). No entanto, para esses valores, $ |x| < 1 $, o que faz com que $ x^{2} - 1 < 0 $.
Passo 5
Como $ x^{2} - 1 $ é negativo quando $ x $ se aproxima de
pela direita, a expressão $ \sqrt{x^{2} - 1} $ não é um número real nesse caso. Portanto, a função dentro da raiz quadrada original:
não está bem definida para $ x $ se aproximando de
pela direita, pois envolve a raiz de um número negativo.
Resposta
O limite não existe no conjunto dos números reais porque a expressão dentro da raiz quadrada se torna negativa quando $ x $ se aproxima de
pela direita.