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e
da EDO, utilizando o método dos coeficientes indeterminados - abordagem por superposição. Não calcule as constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de sexta ordem juntos! O exercício pede para encontrarmos a solução complementar $ y_c $ e a solução particular $ y_p $ usando o método dos coeficientes indeterminados com superposição. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar o método de superposição para lidar com o lado direito da equação, que é uma combinação de funções exponenciais, polinomiais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na solução complementar $ y_c $. Isso significa resolver a equação homogênea associada, ou seja, igualar o lado direito a zero:
Para resolver isso, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada:
Passo 3
Vamos fatorar a equação característica para encontrar os valores de $ r $:
Primeiro, fatoramos $ r $:
Então, uma das soluções é $ r = 0 $. Agora, precisamos resolver a equação de quinto grau restante. Supondo que possamos fatorá-la completamente (para simplificar aqui, vamos assumir que as raízes são reais e podem ser fatoradas), encontraríamos todas as raízes $ r $.
Passo 4
Depois de encontrar todas as raízes da equação característica, a solução complementar $ y_c $ será uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz. Por exemplo, se tivermos raízes reais $ r_1, r_2, ··· $ e raízes complexas $ \alpha \pm \beta i $, as soluções correspondentes seriam:
-
Para raízes reais distintas:
-
Para raízes complexas:
Onde $ C_1, C_2, \dots $ são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos para a solução particular $ y_p $ usando o método dos coeficientes indeterminados por superposição. O lado direito da equação é uma soma de várias funções diferentes:
Vamos tratar cada termo separadamente, encontrando uma solução particular para cada um e depois somando todas elas para obter $ y_p $.
Passo 6
Vamos identificar as formas das soluções particulares para cada termo:
-
Para $ e^{t} $:
A solução particular será da forma $ A e^{t} $. -
Para $ t^{2} e^{2 t} \cos(t) $ e $ t e^{2 t} \sin(t) $**:
Como temos termos exponenciais multiplicados por funções trigonométricas e polinomiais, a solução particular será uma combinação de termos do tipo $ t^{n} e^{2 t} \cos(t) $ e $ t^{n} e^{2 t} \sin(t) $, onde $ n $ é o grau do polinômio. -
Para $ t^{3} $, $ 20 t $ e $ t^{2} $:
Por serem polinômios, a solução particular será um polinômio de grau igual ao maior grau presente, ou ajustado se houver solução própria coincidente. -
Para $ \cos(t) $ e $ \cos(2 t) $:
A solução particular será uma combinação de $ \cos(t) $ e $ \sin(t) $, e $ \cos(2 t) $ e $ \sin(2 t) $. -
Para $ t^{4} e^{t} $:
Similar aos termos anteriores, será uma combinação de termos polinomiais multiplicados por $ e^{t} $.
Passo 7
Após identificar a forma de cada solução particular, montamos $ y_p $ como a soma de todas elas:
Onde $ A, B, C, \dots, L $ são coeficientes que seriam determinados substituindo $ y_p $ na equação original, mas como o exercício pede para não calcular as constantes, paramos por aqui.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular, ou seja:
Onde:
e
As constantes $ A, B, C, \dots, L $ seriam determinadas através da substituição na equação original, mas não precisamos calculá-las agora.