Encontre yc e yp da EDO, utilizando o método dos coeficientes indeterminados - abordagem por superposição. Não calcule as constantes.
d^6 yd t^6-7 d^5 yd t^5+20 d^4 yd t^4-28 d^3 yd t^3+19 d^2 yd t^2-5 d yd t=e^x-x^2 e^2 x cos (x)+x^3+20 x-x e^2 x sen(x)+x^2+cos (x)+cos (2 x)+x^4 e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de sexta ordem juntos! O exercício pede para encontrarmos a solução complementar $ y_c $ e a solução particular $ y_p $ usando o método dos coeficientes indeterminados com superposição. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar o método de superposição para lidar com o lado direito da equação, que é uma combinação de funções exponenciais, polinomiais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na solução complementar $ y_c $. Isso significa resolver a equação homogênea associada, ou seja, igualar o lado direito a zero:
yc
Para resolver isso, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada:

Passo 3

Vamos fatorar a equação característica para encontrar os valores de $ r $:
Primeiro, fatoramos $ r $:
Então, uma das soluções é $ r = 0 $. Agora, precisamos resolver a equação de quinto grau restante. Supondo que possamos fatorá-la completamente (para simplificar aqui, vamos assumir que as raízes são reais e podem ser fatoradas), encontraríamos todas as raízes $ r $.

Passo 4

Depois de encontrar todas as raízes da equação característica, a solução complementar $ y_c $ será uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz. Por exemplo, se tivermos raízes reais $ r_1, r_2, ··· $ e raízes complexas $ \alpha \pm \beta i $, as soluções correspondentes seriam:
  • Para raízes reais distintas:
    yc
  • Para raízes complexas:
    r1, r2, ldots
Onde $ C_1, C_2, \dots $ são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos para a solução particular $ y_p $ usando o método dos coeficientes indeterminados por superposição. O lado direito da equação é uma soma de várias funções diferentes:
yp
Vamos tratar cada termo separadamente, encontrando uma solução particular para cada um e depois somando todas elas para obter $ y_p $.

Passo 6

Vamos identificar as formas das soluções particulares para cada termo:
  1. Para $ e^{t} $:
    A solução particular será da forma $ A e^{t} $.
  2. Para $ t^{2} e^{2 t} \cos(t) $ e $ t e^{2 t} \sin(t) $**:
    Como temos termos exponenciais multiplicados por funções trigonométricas e polinomiais, a solução particular será uma combinação de termos do tipo $ t^{n} e^{2 t} \cos(t) $ e $ t^{n} e^{2 t} \sin(t) $, onde $ n $ é o grau do polinômio.
  3. Para $ t^{3} $, $ 20 t $ e $ t^{2} $:
    Por serem polinômios, a solução particular será um polinômio de grau igual ao maior grau presente, ou ajustado se houver solução própria coincidente.
  4. Para $ \cos(t) $ e $ \cos(2 t) $:
    A solução particular será uma combinação de $ \cos(t) $ e $ \sin(t) $, e $ \cos(2 t) $ e $ \sin(2 t) $.
  5. Para $ t^{4} e^{t} $:
    Similar aos termos anteriores, será uma combinação de termos polinomiais multiplicados por $ e^{t} $.

Passo 7

Após identificar a forma de cada solução particular, montamos $ y_p $ como a soma de todas elas:
yp
Onde $ A, B, C, \dots, L $ são coeficientes que seriam determinados substituindo $ y_p $ na equação original, mas como o exercício pede para não calcular as constantes, paramos por aqui.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular, ou seja:
y = yc + yp
Onde:
yc = Combinação linear das soluções da equação homogênea çãçõçãê
e
yp = A e^t + (B t^2 e^2 t cos(t) + C t^2 e^2 t sin(t)) + (D t^3 + E t^2 + F t + G) + (H cos(t) + I sin(t) + J cos(2 t) + K sin(2 t)) + L t^4 e^t
As constantes $ A, B, C, \dots, L $ seriam determinadas através da substituição na equação original, mas não precisamos calculá-las agora.

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