Encontre
e
da EDO, utilizando o método dos coeficientes indeterminados - abordagem por superposição. Não calcule as constantes.
Passo 1
Vamos olhar a EDO dada: é uma EDO linear de coeficientes constantes de 6ª ordem
O conteúdo aqui é a superposição com coeficientes indeterminados; vamos achar a parte complementar e depois a particular via superposição.
Passo 2
Para encontrar a parte complementar, escrevemos o polinômio característico
$$m6-4m5+5m4-4m3+4m^2 = m2(m4-4m3+5m2-4m+4).
$$
Factoremos o quartico: achamos raízes em (dupla) e
. Logo as raízes são
(multiplicidade 2),
(multiplicidade 2) e
.
Factoremos o quartico: achamos raízes em
Passo 3
Assim a solução da homogênea é
$$y_c(x)=C_1 + C_2 x + C_3 e^{2x} + C_4 x e^{2x} + C_5\cos x + C_6\sin x.
$$
Em seguida decompomos o forçamento em 10 termos e usamos superposição: .
Em seguida decompomos o forçamento em 10 termos e usamos superposição:
Passo 4
Agora, para cada termo do lado direito, fazemos o ansatz levando em conta tipo de forçamento e possíveis ressonâncias:
- Para
(raiz não é raiz do característico):
2) Para
- Para
(polinomial grau 4, ressonância em duas vezes):
$$y_{p,3}=x2(P_4x4+P_3x3+P_2x2+P_1x+P_0).
sem calcular os coeficientes.
Passo 5
Pronto! Temos a solução geral em termos de constantes arbitrárias e os ansatz de cada parte particular, conforme o método dos coeficientes indeterminados via superposição.
Resposta
onde todos os coeficientes serão determinados substituindo em cada termo da EDO.