Encontre yc e yp da EDO, utilizando o método dos coeficientes indeterminados - abordagem por superposição. Não calcule as constantes.
d^6 yd t^6-4 d^5 yd t^5+5 d^4 yd t^4-4 d^3 yt^3+4 d^2 yd t^2=e^x-x^3 e^2 x cos (x)+x^4+x-x e^2 x sen(x)+x^2+x^2 sen(x)+cos (3 x)+x e^2 x-2

Passo 1

Vamos olhar a EDO dada: é uma EDO linear de coeficientes constantes de 6ª ordem
y^(6)-4y^(5)+5y^(4)-4y^(3)+4y''=e^x - x^3e^2xcos x + x^4 + x - x e^2xsin x + x^2 + x^2sin x + cos(3x) + x e^2x -2
O conteúdo aqui é a superposição com coeficientes indeterminados; vamos achar a parte complementar e depois a particular via superposição.

Passo 2

Para encontrar a parte complementar, escrevemos o polinômio característico
$$m6-4m5+5m4-4m3+4m^2 = m2(m4-4m3+5m2-4m+4).
$$
Factoremos o quartico: achamos raízes em m^6-4m^5+5m^4-4m^3+4m^2 = m^2(m^4-4m^3+5m^2-4m+4) (dupla) e m=2. Logo as raízes são m=pm i (multiplicidade 2), m=0 (multiplicidade 2) e m=2.

Passo 3

Assim a solução da homogênea é
$$y_c(x)=C_1 + C_2 x + C_3 e^{2x} + C_4 x e^{2x} + C_5\cos x + C_6\sin x.
$$
Em seguida decompomos o forçamento em 10 termos e usamos superposição: yc(x)=C1 + C2 x + C3 e^2x + C4 x e^2x + C5cos x + C6sin x .

Passo 4

Agora, para cada termo do lado direito, fazemos o ansatz levando em conta tipo de forçamento e possíveis ressonâncias:
  1. Para e^x (raiz m=1 não é raiz do característico):
yp,1=A e^x
2) Para -x^3e^2xcos x (raiz 2pm i não aparece no característico):
yp,2=e^2xl[(a3x^3+a2x^2+a1x+a0)cos x+(b3x^3+b2x^2+b1x+b0)sin xr]
  1. Para x^4 (polinomial grau 4, ressonância em m=0 duas vezes):
$$y_{p,3}=x2(P_4x4+P_3x3+P_2x2+P_1x+P_0).
yp,3=x^2(P4x^4+P3x^3+P2x^2+P1x+P0) ây_{p,4}=x^2(Q_1x+Q_0).
xãéíy_{p,5}=e^{2x}\bigl[(d_1x+d_0)\cos x+(e_1x+e_0)\sin x\bigr].
yp,4=x^2(Q1x+Q0) ây_{p,6}=x2(R_2x2+R_1x+R_0).
-x e^2xsin xíy_{p,7}=x\bigl[(s_2x^2+s_1x+s_0)\cos x+(t_2x^2+t_1x+t_0)\sin x\bigr].
2pm iãéíy_{p,8}=U\cos(3x)+V\sin(3x).
yp,5=e^2xl[(d1x+d0)cos x+(e1x+e0)sin xr] y_{p,9}=x2e{2x}(M_1x+M_0).
x^2ây_{p,10}=N x^2.
yp,6=x^2(R2x^2+R1x+R0) çãéy_p=\sum_{i=1}^{10}y_{p,i},$$
sem calcular os coeficientes.

Passo 5

Pronto! Temos a solução geral em termos de constantes arbitrárias e os ansatz de cada parte particular, conforme o método dos coeficientes indeterminados via superposição.

Resposta

yc(x)=C1+C2x+C3e^2x+C4x e^2x+C5cos x+C6sin x

onde todos os coeficientes serão determinados substituindo em cada termo da EDO.

Exercícios relacionados