Uma análise de difração de raios-X de um cristal de alumínio é feita com um raios-X de comprimento de onda
. Lembrando que o elemento Alumínio possui estrutura CFC e raio atômico de
São observadas as reflexões para os ângulos
. Quais os espaçamentos interplanares estão presentes no cristal para esses três picos de difração?
São observadas as reflexões para os ângulos
Passo 1
Dados fornecidos:
(comprimento de onda dos raios‑X),
(raio atômico do Al) e que o alumínio tem estrutura CFC. O enunciado informa uma observação de reflexões em
e pede: “Quais os espaçamentos interplanares estão presentes no cristal para esses três picos de difração?”
Observação importante (ambiguidade do enunciado): o enunciado só dá um ângulo (
) mas pergunta pelos espaçamentos correspondentes a “esses três picos”. Para não ficar parado, vou adotar a interpretação mais razoável sem pedir nada: que os “três picos” correspondem às primeiras três ordens de difração (
) observadas nesse ângulo
. Vou explicar por que essa escolha: quando só se dá um ângulo e fala em vários picos, a forma direta de gerar vários espaçamentos a partir do mesmo ângulo é usar a lei de Bragg com ordens
diferentes. Se você esperava outra interpretação (por exemplo, três ângulos diferentes que não foram informados), aí realmente faltam dados e a única solução é obter os ângulos ausentes. Seguindo a interpretação adotada, vou calcular os três espaçamentos usando
.
Passo 2
Achar o parâmetro de rede
do CFC a partir do raio atômico
.
A razão: em CFC os átomos tocam ao longo da diagonal da face. A diagonal da face tem comprimento
e nela cabem duas vezes o diâmetro atômico (ou seja,
). Assim:
Primeiro converto
para
porque a onda está em
:
. Então
Agora calculo
:
Calculemos numericamente
:
Portanto o parâmetro de rede é
. (Guarde esse valor caso queiramos identificar índices de Miller depois.)
Passo 3
Apresentar a lei de Bragg e explicar variáveis.
A lei de Bragg é
onde:
-
é a ordem da reflexão (inteiro positivo: ); -
é o comprimento de onda do raio‑X ( ); -
é o espaçamento interplanar que queremos achar; -
é o ângulo de Bragg (meia‑difração), aqui .
Vamos isolar
:
Vou aplicar isso para
.
Passo 4
Calcular
para
.
Usando tabela trigonométrica ou calculadora:
. (Se você na prova não puder usar calculadora, consulte tabela; aqui uso esse valor numérico para prosseguir.)
Passo 5
Calcular o espaçamento para a primeira ordem (
):
Substituindo em
Primeiro o denominador:
Agora a divisão:
Passo 6
Calcular o espaçamento para a segunda ordem (
):
Passo 7
Calcular o espaçamento para a terceira ordem (
):
Passo 8
Comentário didático/checagem (opcional, para entender o que esses
significam):
- Em uma rede cúbica o espaçamento entre planos
é
Com
obtém‑se, por exemplo,
,
,
, etc. Note que os
calculados acima para
não coincidem exatamente com os
típicos de planos de baixo índice do CFC; isso significa que os valores que achamos são simplesmente os espaçamentos que satisfazem Bragg para aquelas ordens no ângulo dado. Se o objetivo fosse identificar índices de Miller dos picos, precisaríamos de mais informações (por exemplo, os ângulos reais de vários picos) e comparar com os
permitidos pela condição de extinção do CFC (apenas reflexões com
todos pares ou todos ímpares aparecem). Aqui, como só tínhamos um ângulo, a interpretação por ordens
é a forma direta de obter “três espaçamentos”.