Uma análise de difração de raios-X de um cristal de alumínio é feita com um raios-X de comprimento de onda 0,58 \AA. Lembrando que o elemento Alumínio possui estrutura CFC e raio atômico de 0,143 \mathrm{~nm}
São observadas as reflexões para os ângulos 15,5^{\circ}. Quais os espaçamentos interplanares estão presentes no cristal para esses três picos de difração?

Passo 1

Dados fornecidos:
\lambda=0{,}58\\ \AA (comprimento de onda dos raios‑X), \;R=0{,}143\\ \mathrm{nm} (raio atômico do Al) e que o alumínio tem estrutura CFC. O enunciado informa uma observação de reflexões em \theta=15{,}5^\circ e pede: “Quais os espaçamentos interplanares estão presentes no cristal para esses três picos de difração?”
Observação importante (ambiguidade do enunciado): o enunciado só dá um ângulo ( 15{,}5^\circ) mas pergunta pelos espaçamentos correspondentes a “esses três picos”. Para não ficar parado, vou adotar a interpretação mais razoável sem pedir nada: que os “três picos” correspondem às primeiras três ordens de difração ( n=1,2,3) observadas nesse ângulo \theta=15{,}5^\circ. Vou explicar por que essa escolha: quando só se dá um ângulo e fala em vários picos, a forma direta de gerar vários espaçamentos a partir do mesmo ângulo é usar a lei de Bragg com ordens n diferentes. Se você esperava outra interpretação (por exemplo, três ângulos diferentes que não foram informados), aí realmente faltam dados e a única solução é obter os ângulos ausentes. Seguindo a interpretação adotada, vou calcular os três espaçamentos usando n=1,2,3.

Passo 2

Achar o parâmetro de rede a do CFC a partir do raio atômico R.
A razão: em CFC os átomos tocam ao longo da diagonal da face. A diagonal da face tem comprimento \sqrt{2}\,a e nela cabem duas vezes o diâmetro atômico (ou seja, 4R). Assim:
\sqrt{2}\,a = 4R \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4R}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,R.
Primeiro converto R para \AA porque a onda está em \AA: \;1\\ \mathrm{nm}=10\\ \AA. Então
R = 0{,}143\\ \mathrm{nm} = 1{,}43\\ \AA.
Agora calculo a:
a = 2\sqrt{2}\times 1{,}43\\ \AA.
Calculemos numericamente \;2\sqrt{2}\approx 2{,}828427:
a \approx 2{,}828427\times 1{,}43\\ \AA \approx 4{,}045\\ \AA.
Portanto o parâmetro de rede é \;a\approx 4{,}045\\ \AA. (Guarde esse valor caso queiramos identificar índices de Miller depois.)

Passo 3

Apresentar a lei de Bragg e explicar variáveis.
A lei de Bragg é
n\lambda = 2d\sin\theta,
onde:
  • n é a ordem da reflexão (inteiro positivo: n=1,2,3,\dots);
  • \lambda é o comprimento de onda do raio‑X ( \lambda=0{,}58\\ \AA);
  • d é o espaçamento interplanar que queremos achar;
  • \theta é o ângulo de Bragg (meia‑difração), aqui \theta=15{,}5^\circ.
Vamos isolar d:
d = \frac{n\lambda}{2\sin\theta}.
Vou aplicar isso para n=1,2,3.

Passo 4

Calcular \sin\theta para \theta=15{,}5^\circ.
Usando tabela trigonométrica ou calculadora: \sin 15{,}5^\circ \approx 0{,}267228. (Se você na prova não puder usar calculadora, consulte tabela; aqui uso esse valor numérico para prosseguir.)

Passo 5

Calcular o espaçamento para a primeira ordem ( n=1):
Substituindo em
d_1 = \frac{1\cdot 0{,}58\\ \AA}{2\sin 15{,}5^\circ} = \frac{0{,}58}{2\times 0{,}267228}\\ \AA.
Primeiro o denominador:
2\sin 15{,}5^\circ = 2\times 0{,}267228 = 0{,}534456.
Agora a divisão:
d_1 = \frac{0{,}58}{0{,}534456}\\ \AA \approx 1{,}086\\ \AA.

Passo 6

Calcular o espaçamento para a segunda ordem ( n=2):
d_2 = \frac{2\cdot 0{,}58\\ \AA}{2\sin 15{,}5^\circ} = \frac{1{,}16}{0{,}534456}\\ \AA \approx 2{,}172\\ \AA.

Passo 7

Calcular o espaçamento para a terceira ordem ( n=3):
d_3 = \frac{3\cdot 0{,}58\\ \AA}{2\sin 15{,}5^\circ} = \frac{1{,}74}{0{,}534456}\\ \AA \approx 3{,}258\\ \AA.

Passo 8

Comentário didático/checagem (opcional, para entender o que esses d significam):
  • Em uma rede cúbica o espaçamento entre planos (hkl) é
d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}.
Com a\approx 4{,}045\\ \AA obtém‑se, por exemplo, d_{111}\approx 2{,}335\\ \AA, d_{200}\approx 2{,}023\\ \AA, d_{220}\approx 1{,}431\\ \AA, etc. Note que os d calculados acima para n=1,2,3 não coincidem exatamente com os d_{hkl} típicos de planos de baixo índice do CFC; isso significa que os valores que achamos são simplesmente os espaçamentos que satisfazem Bragg para aquelas ordens no ângulo dado. Se o objetivo fosse identificar índices de Miller dos picos, precisaríamos de mais informações (por exemplo, os ângulos reais de vários picos) e comparar com os d_{hkl} permitidos pela condição de extinção do CFC (apenas reflexões com h,k,l todos pares ou todos ímpares aparecem). Aqui, como só tínhamos um ângulo, a interpretação por ordens n é a forma direta de obter “três espaçamentos”.

Resposta

d_1 \approx 1{,}086\\ \AA
d_2 \approx 2{,}172\\ \AA
d_3 \approx 3{,}258\\ \AA

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