Uma análise de difração de raios-X de um cristal de alumínio é feita com um raios-X de comprimento de onda 0,58 \AA. Lembrando que o elemento Alumínio possui estrutura CFC e raio atômico de 0,143 \mathrm{~nm}
São observadas as reflexões para os ângulos 19,15^{\circ}. Quais os espaçamentos interplanares estão presentes no cristal para esses três picos de difração?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Comprimento de onda do raio-X: \lambda = 0,58\\ \text{\AA}.
  • Alumínio com estrutura cúbica de face centrada (CFC) e raio atômico R = 0,143\\ \mathrm{nm}.
  • Pede: “Quais os espaçamentos interplanares estão presentes no cristal para esses três picos de difração?” (vamos interpretar isso como os três primeiros picos permitidos para uma rede CFC, ou seja, os três primeiros planos com reflexão permitida).
    Informações relevantes listadas:
  • Temos \lambda conhecido.
  • Temos R e a estrutura CFC (essa informação permite obter a constante de rede a).
  • Precisamos calcular os espaçamentos interplanares d_{hkl} para os três primeiros planos reflexivos permitidos em CFC.

Passo 2

Entendendo a relação entre raio atômico R e a constante de rede a em CFC (explicação didática):
  • Na CFC os átomos tocam-se ao longo da diagonal da face do cubo. A diagonal da face tem comprimento a\sqrt{2}.
  • Ao longo dessa diagonal cabem quatro raios atômicos (porque dois átomos inteiros mais dois semi-átomos equivalem a 4R), portanto a\sqrt{2}=4R.
  • Isolando a obtemos a fórmula usada para CFC:
a = \frac{4R}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,R.
Aqui a é a aresta do cubo (constante de rede) e R é o raio atômico.

Passo 3

Cálculo da constante de rede a a partir de R:
a = 2\sqrt{2}\cdot 0,143\\ \mathrm{nm}.
Agora fazemos a conta (vou mostrar passo a passo):
2\sqrt{2}\approx 2{,}828427,
a \approx 2{,}828427 \times 0,143\\ \mathrm{nm} \approx 0,40434\\ \mathrm{nm}.
Arredondando de forma prática para a precisão dos dados:
a \approx 0,4043\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Fórmula do espaçamento interplanar em rede cúbica e quais planos são permitidos em CFC:
  • Para uma rede cúbica qualquer, o espaçamento entre planos com índices de Miller (hkl) é
d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}.
  • Em CFC há uma regra de seleção: só aparecem reflexões quando h,k,l são todos pares ou todos ímpares (isto evita reflexões “forbidden”).
  • Os menores valores de h^{2}+k^{2}+l^{2} que satisfazem essa regra são:
    1. h^{2}+k^{2}+l^{2}=1^{2}+1^{2}+1^{2}=3 → plano (111),
    2. =2^{2}+0^{2}+0^{2}=4 → plano (200),
    3. =2^{2}+2^{2}+0^{2}=8 → plano (220).
      Portanto os três primeiros picos permitidos vêm de (111), (200) e (220).

Passo 5

Cálculo de d_{111} (passo a passo):
Usando a fórmula,
d_{111}=\frac{a}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Substituindo a\approx 0,40434\\ \mathrm{nm}:
d_{111} \approx \frac{0,40434}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{nm} = \frac{0,40434}{1{,}73205}\\ \mathrm{nm} \approx 0,2335\\ \mathrm{nm}.
Em angstroms isso é d_{111}\approx 2{,}335\\ \text{\AA}.

Passo 6

Cálculo de d_{200}:
d_{200}=\frac{a}{\sqrt{2^{2}+0^{2}+0^{2}}}=\frac{a}{2}.
Substituindo:
d_{200}\approx \frac{0,40434}{2}\\ \mathrm{nm}=0,20217\\ \mathrm{nm},
ou d_{200}\approx 2{,}0217\\ \text{\AA}.

Passo 7

Cálculo de d_{220}:
d_{220}=\frac{a}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+0^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{8}}=\frac{a}{2\sqrt{2}}.
Substituindo:
d_{220}\approx \frac{0,40434}{2{,}828427}\\ \mathrm{nm}\approx 0,1430\\ \mathrm{nm},
ou d_{220}\approx 1{,}430\\ \text{\AA}.

Passo 8

(verificação com a Lei de Bragg — aula rápida)
  • A Lei de Bragg conecta d, \theta e \lambda:
2d\sin\theta = n\lambda,
normalmente usamos a ordem n=1.
  • Se quisermos prever os ângulos correspondentes a esses d com \lambda=0,58\\ \text{\AA}:
\sin\theta = \frac{\lambda}{2d}.
Calculando rapidamente (apenas para checar ordem de grandeza):
\theta_{111}\approx \arcsin\!\left(\frac{0,58}{2\times 2{,}335}\right)\approx 7{,}1^\circ,
\theta_{200}\approx \arcsin\!\left(\frac{0,58}{2\times 2{,}022}\right)\approx 8{,}3^\circ,
\theta_{220}\approx \arcsin\!\left(\frac{0,58}{2\times 1{,}430}\right)\approx 11{,}7^\circ.
(Isto só serve para comparar — os ângulos são pequenos porque \lambda é curto.)

Resposta

\;d_{111}=0,2335\\ \mathrm{nm}\\ (\;2{,}335\\ \text{\AA}\;)
\;d_{200}=0,2022\\ \mathrm{nm}\\ (\;2{,}022\\ \text{\AA}\;)
\;d_{220}=0,1430\\ \mathrm{nm}\\ (\;1{,}430\\ \text{\AA}\;)

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