Uma análise de difração de raios-X de um cristal de alumínio é feita com um raios-X de comprimento de onda
. Lembrando que o elemento Alumínio possui estrutura CFC e raio atômico de
São observadas as reflexões para os ângulos
. Quais os espaçamentos interplanares estão presentes no cristal para esses três picos de difração?
São observadas as reflexões para os ângulos
Passo 1
O enunciado fornece:
Foi informado que "são observadas as reflexões para os ângulos
". A pergunta pede: “Quais os espaçamentos interplanares estão presentes no cristal para esses três picos de difração?”
Observação importante: o enunciado só fornece um ângulo
e pede os espaçamentos para três picos. Isso pode ser interpretado de duas formas:
- O enunciado quis dizer que, para o mesmo ângulo
, foram vistos três máximos (isto é, as 3 ordens de Bragg) — nesse caso podemos calcular os espaçamentos correspondentes a usando a mesma . - Ou então faltam os outros dois ângulos (ou a figura) e não há informação suficiente para determinar três espaçamentos distintos a partir de um único ângulo.
Como não posso pedir informação adicional, vou adotar a interpretação prática (1): vou calcular os espaçamentos interplanares correspondentes às três primeiras ordens de difração
para o ângulo fornecido
. Também calcularei o parâmetro de rede da CFC a partir do raio atômico para checar quais planos (índices de Miller) teriam espaçamentos próximos.
Passo 2
Apresentação da fórmula fundamental (Bragg): para reflexão de raios X em planos cristalinos temos a lei de Bragg:
onde:
-
é a ordem de difração (um inteiro positivo: ), -
é o comprimento de onda do raio X, -
é o espaçamento interplanar que queremos achar, -
é o ângulo entre o feixe incidente e o plano cristalino (ângulo de Bragg).
Isolando
obtemos a fórmula que usaremos:
Explico: a equação diz que, para que ocorra interferência construtiva entre planos separados por
, a diferença de caminho percorrido por ondas refletidas de planos adjacentes deve ser um múltiplo inteiro de
. Esse múltiplo é o
.
Passo 3
Calculo do parâmetro de rede
da CFC a partir do raio atômico. Em uma estrutura cúbica de face centrada (CFC) os átomos tocam-se ao longo da diagonal da face; a diagonal da face tem comprimento
e contém quatro raios (2 diâmetros), logo:
Agora substituo
:
Comentário sobre o que significa:
é o comprimento da aresta da célula unitária cúbica — é a escala de comprimento que usaremos para comparar com os espaçamentos teóricos
dos diferentes planos.
Passo 4
Cálculo do seno do ângulo usado em Bragg. O enunciado deu o ângulo de reflexão
. Usaremos
. O seno vale, numericamente,
Logo
. Vou usar esses valores para calcular
.
Passo 5
Cálculo dos espaçamentos para as três primeiras ordens
usando
Substituindo
e
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses são os espaçamentos interplanares correspondentes às ordens
para
.
Passo 6
Agora vamos comparar esses valores com os espaçamentos permitidos para uma rede cúbica de parâmetro
. Para uma rede cúbica geral:
Para uma CFC há uma seleção adicional: as reflexões só aparecem se
forem todos pares ou todos ímpares (regra de extinção da CFC). Vou calcular alguns
baixos (usando
) para ver correspondências aproximadas:
-
: (todos ímpares → permitido) -
: (pares → permitido) -
: (pares → permitido) -
: (par+ímpar? aqui 3,1,1 são ímpares,ímpares,ímpares → permitido) -
: (pares → permitido) -
: (pares → permitido)
Compare com nossos
:
-
está relativamente próximo de (diferença pequena, pode ser aceitável dependendo de erro experimental). -
não coincide exatamente com os baixos listados; fica entre e . -
é muito pequeno para corresponder a planos de baixa ordem — corresponderia a índices bem maiores e difíceis de observar com boa intensidade.
Interpretação prática: se de fato o enunciado se refere às três ordens
no mesmo ângulo, então os espaçamentos calculados são os de cima; mas associá-los a índices de Miller razoáveis mostra que apenas
é compatível de forma aproximada com um plano de baixa ordem (
ou similar). Isso indica que a interpretação original (três ordens no mesmo ângulo) pode não ser a situação experimental usual — normalmente cada pico corresponde a uma ordem
mas para ângulos distintos, ou então foi observada apenas a 1ª ordem para várias famílias de planos.
Passo 7
Resumo da metodologia para aplicar na prova (passo a passo que você pode usar na hora):
- Calcule o parâmetro de rede
se tiver o raio atômico (para CFC: ). - Use Bragg:
. Normalmente use a menos que haja indicação de ordens superiores. - Compare
com procurando combinações com todos os índices pares ou todos ímpares (regra de extinção da CFC). - Se houver discrepância grande, verifique se os outros ângulos/ordens foram informados ou se há erro experimental.