Uma análise de difração de raios-X de um cristal de alumínio é feita com um raios-X de comprimento de onda 0,58 \AA. Lembrando que o elemento Alumínio possui estrutura CFC e raio atômico de 0,143 \mathrm{~nm}
São observadas as reflexões para os ângulos 33,5^{\circ}. Quais os espaçamentos interplanares estão presentes no cristal para esses três picos de difração?

Passo 1

O enunciado fornece:
\lambda = 0,58\\ \AA
\text{Al: estrutura CFC, raio atômico } R = 0,143\\ \text{nm}ô
Foi informado que "são observadas as reflexões para os ângulos \;33,5^\circ\;". A pergunta pede: “Quais os espaçamentos interplanares estão presentes no cristal para esses três picos de difração?”
Observação importante: o enunciado só fornece um ângulo \;33,5^\circ\; e pede os espaçamentos para três picos. Isso pode ser interpretado de duas formas:
  1. O enunciado quis dizer que, para o mesmo ângulo \;33,5^\circ\;, foram vistos três máximos (isto é, as 3 ordens n=1,2,3 de Bragg) — nesse caso podemos calcular os espaçamentos correspondentes a n=1,2,3 usando a mesma \theta.
  2. Ou então faltam os outros dois ângulos (ou a figura) e não há informação suficiente para determinar três espaçamentos distintos a partir de um único ângulo.
Como não posso pedir informação adicional, vou adotar a interpretação prática (1): vou calcular os espaçamentos interplanares correspondentes às três primeiras ordens de difração n=1,2,3 para o ângulo fornecido \;33,5^\circ\;. Também calcularei o parâmetro de rede da CFC a partir do raio atômico para checar quais planos (índices de Miller) teriam espaçamentos próximos.

Passo 2

Apresentação da fórmula fundamental (Bragg): para reflexão de raios X em planos cristalinos temos a lei de Bragg:
n\lambda = 2d\sin\theta
onde:
  • n é a ordem de difração (um inteiro positivo: 1,2,3,\dots),
  • \lambda é o comprimento de onda do raio X,
  • d é o espaçamento interplanar que queremos achar,
  • \theta é o ângulo entre o feixe incidente e o plano cristalino (ângulo de Bragg).
Isolando d obtemos a fórmula que usaremos:
d = \frac{n\lambda}{2\sin\theta}.
Explico: a equação diz que, para que ocorra interferência construtiva entre planos separados por d, a diferença de caminho percorrido por ondas refletidas de planos adjacentes deve ser um múltiplo inteiro de \lambda. Esse múltiplo é o n.

Passo 3

Calculo do parâmetro de rede a da CFC a partir do raio atômico. Em uma estrutura cúbica de face centrada (CFC) os átomos tocam-se ao longo da diagonal da face; a diagonal da face tem comprimento a\sqrt{2} e contém quatro raios (2 diâmetros), logo:
a\sqrt{2} = 4R \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4R}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,R.
Agora substituo R=0,143\\ \text{nm}:
a = 2\sqrt{2}\times 0,143\\ \text{nm} = 0,4040\\ \text{nm} = 4,040\\ \AA.
Comentário sobre o que significa: a é o comprimento da aresta da célula unitária cúbica — é a escala de comprimento que usaremos para comparar com os espaçamentos teóricos d_{hkl} dos diferentes planos.

Passo 4

Cálculo do seno do ângulo usado em Bragg. O enunciado deu o ângulo de reflexão \;33,5^\circ\;. Usaremos \theta = 33,5^\circ. O seno vale, numericamente,
\sin 33,5^\circ \approx 0,5525.
Logo 2\sin\theta \approx 1,1050. Vou usar esses valores para calcular d.

Passo 5

Cálculo dos espaçamentos para as três primeiras ordens n=1,2,3 usando
d = \frac{n\lambda}{2\sin\theta}.
Substituindo \lambda = 0,58\\ \AA e 2\sin\theta \approx 1,1050:
  • Para n=1:
d_{1} = \frac{1\times 0,58}{1,1050} \approx 0,526\\ \AA.
  • Para n=2:
d_{2} = \frac{2\times 0,58}{1,1050} \approx 1,052\\ \AA.
  • Para n=3:
d_{3} = \frac{3\times 0,58}{1,1050} \approx 1,577\\ \AA.
Esses são os espaçamentos interplanares correspondentes às ordens n=1,2,3 para \theta=33,5^\circ.

Passo 6

Agora vamos comparar esses valores com os espaçamentos permitidos para uma rede cúbica de parâmetro a. Para uma rede cúbica geral:
d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}.
Para uma CFC há uma seleção adicional: as reflexões só aparecem se (h,k,l) forem todos pares ou todos ímpares (regra de extinção da CFC). Vou calcular alguns d_{hkl} baixos (usando a=4,040\\ \AA) para ver correspondências aproximadas:
  • (1,1,1): \;d_{111}=\dfrac{4,040}{\sqrt{3}}\approx 2,333\\ \AA (todos ímpares → permitido)
  • (2,0,0): \;d_{200}=\dfrac{4,040}{2}=2,020\\ \AA (pares → permitido)
  • (2,2,0): \;d_{220}=\dfrac{4,040}{\sqrt{8}}\approx 1,429\\ \AA (pares → permitido)
  • (3,1,1): \;d_{311}=\dfrac{4,040}{\sqrt{11}}\approx 1,218\\ \AA (par+ímpar? aqui 3,1,1 são ímpares,ímpares,ímpares → permitido)
  • (2,2,2): \;d_{222}=\dfrac{4,040}{\sqrt{12}}\approx 1,166\\ \AA (pares → permitido)
  • (4,0,0): \;d_{400}=\dfrac{4,040}{4}=1,010\\ \AA (pares → permitido)
Compare com nossos d_n:
d_1\approx 0,526\\ \AA,\quad d_2\approx 1,052\\ \AA,\quad d_3\approx 1,577\\ \AA.
  • d_2\approx 1,052\\ \AA está relativamente próximo de d_{400}=1,010\\ \AA (diferença pequena, pode ser aceitável dependendo de erro experimental).
  • d_3\approx 1,577\\ \AA não coincide exatamente com os d_{hkl} baixos listados; fica entre d_{220}=1,429\\ \AA e d_{111}=2,333\\ \AA.
  • d_1\approx 0,526\\ \AA é muito pequeno para corresponder a planos de baixa ordem — corresponderia a índices bem maiores e difíceis de observar com boa intensidade.
Interpretação prática: se de fato o enunciado se refere às três ordens n=1,2,3 no mesmo ângulo, então os espaçamentos calculados são os de cima; mas associá-los a índices de Miller razoáveis mostra que apenas d_2 é compatível de forma aproximada com um plano de baixa ordem ( (4,0,0) ou similar). Isso indica que a interpretação original (três ordens no mesmo ângulo) pode não ser a situação experimental usual — normalmente cada pico corresponde a uma ordem n=1 mas para ângulos distintos, ou então foi observada apenas a 1ª ordem para várias famílias de planos.

Passo 7

Resumo da metodologia para aplicar na prova (passo a passo que você pode usar na hora):
  1. Calcule o parâmetro de rede a se tiver o raio atômico (para CFC: a=2\sqrt{2}R).
  2. Use Bragg: d = \dfrac{n\lambda}{2\sin\theta}. Normalmente use n=1 a menos que haja indicação de ordens superiores.
  3. Compare d com d_{hkl}=\dfrac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}} procurando combinações com todos os índices pares ou todos ímpares (regra de extinção da CFC).
  4. Se houver discrepância grande, verifique se os outros ângulos/ordens foram informados ou se há erro experimental.

Resposta

d_{n=1}=0,526\\ \AA
d_{n=2}=1,052\\ \AA
d_{n=3}=1,577\\ \AA

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