Em análise dimensional o método dos termos
é utilizado e expressa uma equação resultante em termos de:
a) variáveis repetidas ou de base.
b) variáveis geométricas, cinemáticas e dinâmicas.
c) (n-m) parâmetros adimensionais.
d) n parâmetros adimensionais.
Passo 1
O enunciado pergunta: “Em análise dimensional o método dos termos ___ é utilizado e expressa uma equação resultante em termos de:” e apresenta quatro alternativas. Devemos escolher qual alternativa está correta. As alternativas dadas são:
a) variáveis repetidas ou de base.
b) variáveis geométricas, cinemáticas e dinâmicas.
c) (n-m) parâmetros adimensionais.
d) n parâmetros adimensionais.
Informações relevantes entregues pelo enunciado: há uma referência a “método dos termos” (assumimos que se refere ao método das variáveis repetidas / ao procedimento de formar grupos adimensionais) e as alternativas relacionam-se ao número e ao tipo de grandezas/resultados que esse método gera.
Passo 2
O que o método faz — visão intuitiva e útil para a prova. Vou explicar devagar e com carinho: quando temos uma relação física entre várias grandezas (força, velocidade, densidade, diâmetro, viscosidade, etc.), a análise dimensional permite reescrever essa relação em termos de grandezas adimensionais (grupos sem unidades). O teorema central aqui é o Teorema de Buckingham Π, que diz, de forma prática: se temos n grandezas que participam do problema e elas envolvem m dimensões fundamentais independentes (por exemplo massa, comprimento e tempo: M,L,T; então m=3), então podemos reduzir a relação para um conjunto de (n-m) grupos adimensionais independentemente entre si. Esse é o resultado que o método das variáveis repetidas busca obter.
Explicando o que significam n e m:
n é o número total de variáveis/quantidades físicas que aparecem na equação ou problema (por exemplo: força F, densidade \rho, velocidade v, comprimento característico D, viscosidade \mu → então n=5).
m é o número de dimensões fundamentais envolvidas (se todas as grandezas podem ser escritas usando M,L,T, então m=3).
Portanto, o teorema prevê exatamente (n-m) parâmetros adimensionais.
Passo 3
Breve explicação do método das variáveis repetidas (método dos termos repetidos) — como se aplica passo a passo (do jeito que dá pra fazer na prova).
Liste todas as n grandezas que influenciam o fenômeno.
Identifique as m dimensões fundamentais presentes (por exemplo M,L,T).
Escolha m variáveis repetidas (ou de base) entre as n. Essas m devem ser independentemente dimensionais (ou seja, suas dimensões combinadas formam uma base para as m dimensões).
Para cada uma das restantes (n-m) variáveis, construa um grupo adimensional \Pi na forma
onde q é a variável que estamos anelando (a que não foi escolhida como repetida) e r_1,\dots,r_m são as variáveis repetidas.
5. Determine os expoentes a_1,\dots,a_m impondo que as dimensões de \Pi se cancelem (ou seja, resolver um sistema linear obtido igualando os expoentes nas dimensões M,L,T,\dots a zero).
6. Repetindo para cada uma das (n-m) variáveis obtemos (n-m) grupos \Pi_1,\dots,\Pi_{n-m}. A relação física pode então ser escrita como
\Phi(\Pi_1,\Pi_2,\dots,\Pi_{n-m}) = 0
ou explicitamente \Pi_1 = f(\Pi_2,\dots,\Pi_{n-m}).
Essa explicação mostra por que o número de parâmetros adimensionais formados é exatamente (n-m): há n variáveis iniciais e ao escolher m variáveis repetidas (para fixar a escala dimensional) sobra exatamente (n-m) variáveis que se transformam em grupos independentes adimensionais.
Passo 4
Exemplo concreto (útil para fixar na prova). Considere o arrasto F\) sobre uma esfera dependendo de \(\rho\) (densidade do fluido), \(v\) (velocidade), \(D\) (diâmetro) e \(\mu\) (viscosidade dinâmica). Então as variáveis são
\[F,\\ \rho,\\ v,\\ D,\\ \mu,
logo n=5. As dimensões fundamentais envolvidas são M,L,T, então m=3. Pela regra, o número de grupos adimensionais será
n-m = 5-3 = 2.
Agora um passo típico de construção (esquema rápido): escolhemos como variáveis repetidas \rho,\\ v,\\ D (elas são independentes em dimensão). Para formar um \Pi correspondente a F assumimos
\Pi_1 = F \cdot \rho^{a} v^{b} D^{c}.
Escrevemos as dimensões de cada termo (vou mostrar para você aprender a fazer sem calculadora):
\dim(F) = M L T^{-2}.
\dim(\rho) = M L^{-3}.
\dim(v) = L T^{-1}.
\dim(D) = L.
As dimensões de \Pi_1 são então
\dim(\Pi_1) = M^{1+a} L^{1-3a+b+c} T^{-2-b}.
Para que \Pi_1 seja adimensional, igualamos os expoentes das dimensões a zero:
que é, até constante, o coeficiente de arrasto adimensional. O outro grupo resultante será (por exemplo) a razão \dfrac{\rho v D}{\mu}\], o conhecido número de Reynolds \(\mathrm{Re}. Assim obtivemos exatamente 2 grupos adimensionais, confirmando que são (n-m).]
Passo 5
Conclusão didática e resposta ao enunciado: o método das variáveis repetidas (método dos termos repetidos) é justamente o procedimento que reescreve a equação física em termos de grupos adimensionais. Pelo Teorema de Buckingham o número desses grupos é (n-m). Portanto a alternativa correta é a que afirma exatamente isso.
Força aí — você já viu a ideia central e um exemplo concreto de como montar os grupos; na prova, liste n, identifique m e aplique esse procedimento que sai tranquilo.